Obnažená algebra
Série článků k disposici v pdf!
Ve předchozí sérii Oživlá geometrie jsme do světa uvedli diferenciální počet: mocnou teoretickou zbraň, které podlehne kdejaký matematický a fyzikální problém. Možná se však ve vztahu k diferenciálnímu počtu cítíte, jako kdybyste dostali klíčky od vrtulníku po shlédnutí tréningových videí. Proto se již nebudeme tolik soustředit na matematické finesy a formality a místo toho se podíváme do terénu, kde si budete diferenciální počet moci osahat a seznámit se s ním.
Z tréningové haly se vydáme na velice konkrétní místa. V následujících kapitolách se budeme věnovat pokaždé jedné důležité vědě, která diferenciální počet využívá. Začneme ekonomií, přes fyziku či biologii až po... nechte se překvapit! Krom schopnosti řešit příklady byste tak měli dostat určitý přehled o časté aplikaci diferenciálního počtu, přes což budete moci docenit jeho užitečnost.
Algebra je slovo arabského původu pocházející ze slova al-jabr: sjednocení rozbitých částí.
V této sérii textů se často setkáte s algebrou, neboli matematickým formalismem, což je způsob, jak známé myšlenky zapsat a konceptualizovat (formalizovat). Např. sčítání je formalizováno pomocí symbolu $+$ a násobení, jakožto opakované sčítání, je formalizováno pomocí symbolu $\cdot$. Se znalostí formalismu můžeme efektivně činit abstraktní operace a až potom do nich dosadit konkrétní význam, např. můžeme rychle spočítat $2+4$ a až potom si domyslet, že se jednalo např. o finanční transakci.
Algebra v naší sérii není obnažená proto, že by se jednalo o cosi vulgárního. Naopak, pečlivě se vyhýbáme práci se dříve nedefinovanými veličinami, nespadáme tak např. do časté pasti používání tzv. diferenciálů bez intuice. Obnaženost zde berme ve smyslu průhlednosti, možnosti spatřit pravou podstatu algebraických manipulací, neboť již nic neskrývají.
Koncept derivací jsme si v Oživlé geometrii ukázali na několika funkcích, dokonce víme, jak je vypočítat. Výpočtem derivace jsme zjistili, jak velká je míra růstu těchto funkcí. V některých případech však pro nás není důležitá pouze tato míra růstu ale i jiné míry: např. průměr funkce na určitém intervalu. Ukážeme si, jak výpočet průměru v různých situacích lze provést pomocí integrace, tím nám nám diferenciální počet poskytne mocný nástroj na řešení nejrůznějších typů úloh — průměrná výška hladiny moře za den, průměrný plat v závislosti na věku, průměrná spotřeba auta, to vše a mnohem více můžeme spočítat pomocí integrace. Nejvíce se však průměry využijí ve statistice a teorii pravděpodobnosti: k tomu na konci uvedeme krátký příklad, ale kvůli složitosti se hlouběji nepustíme.
Také si zde ukážeme, co je to určitá integrace, což budeme potřebovat později.
Říká se, že kdo s čím zachází, tím také schází. To rozhodně neplatí pro odvětví finančnictví, neboť snad v žádném jiném hospodářském odvětví se nepohybuje tolik peněz jako zde. Investoři, kteří spravují portfolia, bankovní manažeři, či vědci tvořící ekonomické modely státu zacházejí s nepředstavitelnými finančními toky. Mají tak velkou zodpovědnost a proto se nesmí štítit diferenciálního počtu. Poskytuje totiž mocné nástroje na to, jak odhadnout budoucnost, či maximalizovat zisk. Pojďme tedy zkusit poodhalit některé triky, které se při zacházení s penězi používají.
Koncepty diferenciálního počtu, který jsme v předchozích kapitolách a v Oživlé geometrii budovali, snad dávají smysl. Pro jejich praktické využití je však třeba nejen aby dávaly smysl, ale aby bylo co nejjednodušší je používat. Potřebujeme tak vyvinout značení, algebru. Proto se vrátíme na chvíli do historie podíváme se, jak značení diferenciálního počtu pojímali dva ,,zakladatelé`` diferenciálního počtu, I. Newton a G. Leibniz.
Oba tito myslitelé se dlouho přeli, kdo z nich teorii vymyslel jako první, nicméně dle dnešního konsensu oba svou teorii vyvinuli samostatně a nezávisle. Protože však každý na teorii pracoval bez vědomí toho druhého, vyvinuli oba své vlastní značení pro stejné matematické koncepty. Značení, které používáme dnes, kombinuje prvky z obou původních.
Byť se oba tvůrci nemohli vystát, dnes můžeme být vděční za to, že vznikly dva do jisté míry nezávislé pohledy na tu samou věc. Matematické značení, které k výpočtům používáme, totiž ovlivňuje to, jak nad problematikou přemýšlíme. Pokud si zvolíme dobré značení, půjde vše hladce a elegantně, pokud naše značení obsahuje nejasnosti, či ho plně nechápeme, daleko se nedostaneme. Správné pochopení zacházení s matematickým značením a soulad tohoto značení s popisovanou realitou, to je esence algebry, kterou se zde zabýváme. A na málo místech to lze vidět tak dobře jako u tzv. řetězového pravidla, které je předmětem této kapitoly.
V předchozích dvou kapitolách jsme se věnovali dvou partikulárním tématům ohledně derivací a integrálů. Využili jsme tuto příležitost k tomu, abychom se podívali na některé konkrétní příklady, nicméně nejednalo se o nic koncepčně převratného — to si představíme nyní. V našem výletu za diferenciální analýsou budeme totiž pokračovat exkurzem do diferenciálních rovnic. Tyto rovnice v sobě kombinují nástroje derivace i integrace, takže se nejspíš trochu zapotíme, nicméně za to můžeme naše znalosti použít na dosud neuchopitelné problémy.
V minulé kapitole jsme pro ukázku diferenciální rovnice sledovali padající kámen. Pohyb kamene popisujeme cizím slovem jako translační, abychom vyzdvihli, že se pohybuje po nějaké trajektorii. Oproti tomu předmětem této kapitoly bude pohyb rotační a s s ním související otázka souřadnicových soustav.
Zmínili jsme, že diferenciální rovnice slouží k představení nových funkcí. V této kapitole si o dvou nových, tzv. goniometrických funkcích povíme. Představíme je sice nezávisle na diferenciálních rovnicích, ale později souvislosti objasníme.
Koncepty, které v této kapitole představíme, nejsou vůbec moderní. Všechny příklady mohl řešit, nebo řešil sám Newton, když diferenciální počet zakládal. Z hlediska vývoje matematiky se jedná o poněkud zastaralé problémy: zatímco jiné oblasti matematické analýzy ještě dnes kvetou, zde představené problémy lidé již dávno vyřešili a nyní je považují za samozřejmost. Je však ironií osudu, že ty samé problémy, které na papíře s potem v tváři řešili Evropští matematici 18. století, dnes nacházejí využití v naprosto odlišné oblasti: vývoji počítačových her.
Souřadnicové soustavy jsou totiž naprosto klíčové, aby počítač věděl, kde se hráč, nepřátelé a herní objekty nachází. Věci se navíc pohybují, a tak je třeba řešit pohybové rovnice, aby vše probíhalo realisticky. Samozřejmě, výpočetní metody se za 300 let poněkud posunuly a počítače rovnice řeší numericky, hrubou silou. Přesto je pro herní vývojáře důležité koncepty znát, aby do hry nepřinesli nějaké glitche.
Populární hádanka zní následovně: na jezeře se jednoho rána objevil leknín. Druhého rána byly již dva, třetího 4 atd., každý den se jejich počet zdvojnásobil. Desátého dne jich bylo již 512, kolikátého dne jich byla polovina? Zbrklý člověk briskně odpovídající, že v brčále polovina leknínů byla pátého dne, se plete. Ježto se každý den počet rostlin zdvojnásobí, polovina konečného počtu byla v předposlední, devátý den.
Tento chyták většinou neslouží k ničemu jinému než k pobavení, nicméně z matematického hlediska relativně přesně popisuje fenomén šíření a vzniku života. Představme si na chvíli, že se nacházíme v jakémsi primordiálním brčálu, ve kterém podle vědeckých teorií život vznikl, a soustřeďme se na první vzniklý organismus — jak se asi bude tento život po světě šířit?
V minulých kapitolách jsme věnovali mnoho času představení exponenciálních funkcí. Zjistili jsme, že je spjatá s následující diferenciální rovnicí: $$ f'(x) = k\cdot f(x) \,,$$
která má řešení ve tvaru $$f(x) = C\cdot e^{kx} \,,$$
kde $C$ a $k$ jsou nějaké konstanty. Ve skutečnosti bychom funkci $e^x$ mohli definovat jako funkci řešící tento druh rovnice, tak moc je exponenciála a její rovnice spjata. Podíváme se, kde všude tato diferenciální rovnice vystupuje. Také se podíváme na jiný způsob sestavování diferenciálních rovnic pomocí diferenciálů a Leibnizovy notace.
Proč věnovat jednu obsáhlou kapitolu jedné diferenciální rovnici? Skutečně existuje nepřeberné množství možných diferenciálních rovnic, které mají mnoho řešení. Ukazuje se však, že v přírodě se vyskytují jen určité tvary diferenciálních rovnic. Objasnění tohoto tvrzení pomocí tvrdé matematiky vyžaduje znalost velmi pokročilé diferenciální geometrie. Lepší porozumění však dostaneme, pokud se podíváme na jednotlivé příklady diferenciálních rovnic a ohmatáme si je, což je cílem této kapitoly.
Pomocí exponenciální funkce lze popsat růst populace organismů. Tento model však má velké omezení, a to sice že počet jedinců neustále roste. Nezřízený růst můžeme sice pozorovat nějaký omezený čas na začátku děje, nicméně po nějaké chvíli musí ustat. V této kapitole se podíváme na jiný model populační křivky, který takové chování popisuje. Tento takzvaný harmonický oscilátor má však využití hlavně ve fyzice, k čemuž se dostaneme v následující kapitole.
Ukážeme si tady další významnou rovnici: rovnici harmonického oscilátoru. Je to druhá rovnice a poslední rovnice, kterou si zde představíme. Cílem Obnažené algebry je však ukázat, že právě tyto dvě rovnice stačí na popsání velké třídy jevů, které můžeme v životě popsat. Exponenciální rovnice popisuje nespoutaný růst (či pokles), divoký jako život sám. Bohužel je však tak neovladatelný, že nemá žádnou mez. Harmonický oscilátor jako protipól popisuje spoutaný vývoj, který je klidný, houpavý, harmonický. Také se dá použít na popsání malých výchylek ze stability.
Zhruba takový je charakter dvou rovnic, které zde uvidíte. Podle jejich popisu můžete vytušit možnou šíři jejich užití. Až k popisu přechodových jevů, mezi stabilitou a nespoutaností, nebo pokud chceme v popisu větší přesnost, bychom potřebovali jiné diferenciální rovnice. Jistě je k tomu mnoho literatury, avšak již to leží mimo rozsah tohoto textu.
Seznámili jsme se tedy s diferenciální rovnicí, která modeluje oscilující veličinu a vypadá následovně. $$ f''(x) = - \omega^2 f(x)$$
má řešení $$ f(x) = A \sin(\omega \, x + \varphi ) \,,$$
kde $\omega$ a $\varphi$ jsou nějaké konstanty. Děj popisovaný touto rovnicí jsme pojmenovali harmonické kmity. Podobně jako s exponenciální rovnicí můžeme pomocí harmonického oscilátoru definovat funkci sinus (a kosinus). Zde si ukážeme, kde takový harmonický oscilátor můžeme potkat. Bude se nyní jednat hlavně o ryze fyzikální, mechanické příklady. Je trochu škoda, že nezavítáme do jiných odvětví, ale představíme si princip, podle kterého lze harmonický oscilátor nalézt v téměř libovolném fyzikálním systému.
Touto kapitolou se text o Obnažené algebře chýlí ke konci. Zvládli jsme zde dodat konkrétní podobu nauce o diferenciálním počtu, který jsme představili v Oživlé geometrii, a to na mnoha příkladech z nejrůznějších vědních oborů. Nejvíce sice převládala fyzika, nicméně to se dá očekávat, neboť diferenciální počet přímo pro ni byl vyvinut, dále také mnoho fyzikálních aplikací přesahuje rámec svého oboru.
Doufám, že máte nyní nějakou víceméně ucelenou představu o tom, co jsou derivace a integrace a diferenciální rovnice. Když se člověk seznamuje s novým tématem, často se stává, že nějaký koncept chápe, ale není si jistý, jak je spojený s jiným konceptem, čímž vzniká veliká nejistota: tento text se snažil vše co nejvíce propojovat.
Rád bych ukončil tento text nadějně, a proto zde načnu všechna témata, která se do původního text nevešla, byť by to byla zajímavá rozšíření. Není již cílem, abyste se něco konkrétního naučili, jedná se spíše o přehled všech podivných zákoutí, kterými se studium diferenciálního počtu může vydat. Proto úroveň rigorosnosti klesne ještě o stupínek oproti předchozím kapitolám, na druhou stranu se vše pokusím doplnit zdroji, kde je vše vysvětleno pořádně.
O stránce
Články
Návody
Odkazy
O mně