10. Shrnutí

Touto kapitolou se text o Obnažené algebře chýlí ke konci. Zvládli jsme zde dodat konkrétní podobu nauce o diferenciálním počtu, který jsme představili v Oživlé geometrii, a to na mnoha příkladech z nejrůznějších vědních oborů. Nejvíce sice převládala fyzika, nicméně to se dá očekávat, neboť diferenciální počet přímo pro ni byl vyvinut, dále také mnoho fyzikálních aplikací přesahuje rámec svého oboru.

Doufám, že máte nyní nějakou víceméně ucelenou představu o tom, co jsou derivace a integrace a diferenciální rovnice. Když se člověk seznamuje s novým tématem, často se stává, že nějaký koncept chápe, ale není si jistý, jak je spojený s jiným konceptem, čímž vzniká veliká nejistota: tento text se snažil vše co nejvíce propojovat.

Rád bych ukončil tento text nadějně, a proto zde načnu všechna témata, která se do původního text nevešla, byť by to byla zajímavá rozšíření. Není již cílem, abyste se něco konkrétního naučili, jedná se spíše o přehled všech podivných zákoutí, kterými se studium diferenciálního počtu může vydat. Proto úroveň rigorosnosti klesne ještě o stupínek oproti předchozím kapitolám, na druhou stranu se vše pokusím doplnit zdroji, kde je vše vysvětleno pořádně.

Vícedimenzionální počet

Funkce, které jsme celou dobu používali měli většinou jen jednu proměnnou a značily se $f(x)$. Toto nám stačí ve mnoha případech, nicméně např. při popisu věcí ve třírozměrném prostoru musíme vymyslet něco obecnějšího. Jednoduše proto zavedeme funkci dvou proměnných $f(x,y)$, která při dodání dvou čísel vydá jedno číslo. Příklad takové funkce může být $$\begin{array}{r}f(x,y)=x^2+y^2,\text{např. }f(2,-2)=8.\end{array}$$

Samozřejmě můžeme podobně zavést funkci tří, čtyř, nebo $n$ proměnných. Jak potom derivujeme? Zavedeme tzv. parciální derivaci, neboli derivaci vzhledem k jedné proměnné. Značí se pomocí symbolu $\partial$. Její definice je $$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\equiv \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},$$

neboli variujeme jen jednu proměnnou. Pro náš konkrétní příklad máme $$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2x,$$

Protože $y$ se vzhledem ke změně $x$ chová jako konstanta a derivace konstanty je nula. U vícerozměrných funkcí je těžší najít nějaké maximum, protože máme dva parametry, které můžeme měnit. Více volnosti tak znamená více možností a vyžaduje to trochu pokročilejší metody.

Diferenciální operátory

V přírodě se určité tvary derivací vyskytují častěji než jiné. Proto zavádíme tzv. diferenciální operátory, což jsou zjednodušeně řečeno zkratky pro zápis derivací. Přenesme se na chvíli do světa tří prostorových proměnných a jedné časové. Sledujme třeba teplotu místnosti v závislosti na místě, kde měříme, která se vyvijí v čase: $T(x,y,z,t)$. Zavádíme pak tzv. Laplaceův operátor $\mathrm{\Delta }$: $$\begin{array}{r}\mathrm{\Delta }T(x,y,z)\equiv \frac{{\partial }^{2}T(x,y,z)}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T(x,y,z)}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T(x,y,z)}{\partial z^2}=(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})T(x,y,z).\end{array}$$

Ano, Laplaceův operátor, zkráceně Laplace, vypadá stejně jako Delta. Tato kombinace druhých derivací má význam rozdílu průměrné teploty v okolí od středu. Proto sestavujeme Fourierovu rovnici vedení tepla, která zní následovně: $$\lambda \mathrm{\Delta }T(x,y,z,t)=\frac{\partial }{\partial t}T(x,y,z,t).$$

Znamená to, že změna teploty v čase je úměrná rozdílu teploty od průměru okolí ($\lambda$ je jen koeficient teplotní vodivosti). Teplo se tak přelévá a v momentě, kdy se přestane hýbat, bude platit $$\frac{\partial }{\partial t}T(x,y,z,t)=0\Rightarrow \lambda \mathrm{\Delta }T(x,y,z,t)=0.$$

Neboli všude je teplota stejná jako průměrná okolní teplota, tedy všude je teplo stejné. V jednom rozměru a s použitím dalších úvah se to zjednoduší na rovnici, kterou jsme viděli v sedmé kapitole.

Vlnová rovnice

Řešení vícedimenzionálních rovnic obyčejně není tak jednoduché jako zjednodušený příklad rovnice vedení tepla přednesený výše. Takovým rovnicím říkáme parciální diferenciální rovnice (PDR). Jeden obzvláště důležitý příklad parciální diferenciální rovnice je vlnová rovnice, která má pro funkci dvou proměnných $u(x,t)$ následující tvar: $$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}u(x,t)& =\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}u(x,t),\end{array}$$

Kde $c$ je rychlost šíření vlny. Tato rovnice má mnoho typů řešení. My si však představíme jedno konkrétní: jakoukoliv funkci ve tvaru $u(x,t)=f(x-ct)$. Zkusme ji dosadit: $$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}f(x-ct)& =\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(x-ct)}{\mathrm{d}(x-ct{)}^2}{\left(\frac{\mathrm{d}(x-ct)}{\mathrm{d}x}\right)}^2=\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(x-ct)}{\mathrm{d}(x-ct{)}^2}{1}^2\\ \frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}u(x,t)& =\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(x-ct)}{\mathrm{d}(x-ct{)}^2}\frac{1}{c^2}{\left(\frac{\mathrm{d}(x-ct)}{\mathrm{d}t}\right)}^2=\frac{{\mathrm{d}}^{2}f(x-ct)}{\mathrm{d}(x-ct{)}^2}\frac{1}{c^2}{c}^2.\end{array}$$

Vidíme, že se pravá a levá strana rovnají nezávisle na volbě funkce $f$. Řešením je tedy vskutku „vlna”, neboli nějaká funkce, která se pohybuje rychlostí $c$ v čase. Můžete si představit např. funkci $f(x,t)=(x-ct{)}^2$ v čase $t=0$ a pak postupně ve vyšších časech. Jedná se o parabolu, která se pohybuje doprava rychlostí $c$.

S touto rovnicí se setkáme např. u kmitů struny, u vedení signálu podmořským kabelem, u elektromagnetických vln (světla), nebo u samotných vln na moři. Ještě zajímavější řešení bychom dostali, kdybychom uvažovali funkci se třemi prostorovými parametry, ale to je již moc složité.

Nekonečné řady

V diferenciálním počtu nemůžeme opomenout nekonečné součty (řady). Můžeme si vzpomenout na první integraci, kterou jsme provedli: ve třetí kapitole Oživlé geometrie jsme spočetli plochu pod parabolou. Využili jsme k tomu tenkrát však sumu o nade všechny meze rostoucím počtem členů. Techniky součtu takových sum můžeme dále vylepšovat pomocí diferenciálního počtu, např. lze dokázat, že $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$$

Tomu, že má suma konkrétní výsledek, říkáme, že konverguje (schází se). Oproti tomu suma $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$$

takzvaně diverguje (rozchází se), neboli její součet roste nade všechny meze. O stupínek těžší problém než sumy čísel jsou sumy funkcí v obecném tvaru $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x),$$

kde $f_n(x)$ je nějaká posloupnost funkcí, např. $f_n(x)=\frac{x}{n}$. Pokud je funkce $f_n(x)$ vhodná, tak můžeme najít k čemu taková suma konverguje a vyřešit tak nekonečně nekonečných sum najednou — jednu pro každé $x$. Řešení je však ještě komplikovanější, protože existuje více druhů konvergence (bodová a stejnoměrná).

Taylorův rozvoj

Taylorův rozvoj potkáme, když se zeptáme na otázku: jaký polynom nejlépe aproximuje libovolnou funkci? Po spoustě matematické analýzy můžeme na tuto otázku dostat odpověď: zvolíme-li dostatečně pěknou funkci $f(x)$, můžeme ji aproximovat jako $$\begin{array}{r}f(x_0+x)\approx \sum _{i=0}^{i=n}{x}^n\frac{1}{i!}\frac{{\mathrm{d}}^0}{\mathrm{d}{x}^n}f(x){|}_{x=x_0},\end{array}$$

zde $x_0$ můžeme zvolit libovolně jako bod okolo kterého provádíme rozvoj, běžně volíme $x_0=0$. Znak $i!$ znamená faktoriál z $i$. Faktoriál čísla $3$ je $3!=3\cdot 2\cdot 1=6$ atp.Naposledy, vertikální čára značí, že derivujeme v bodě $x_0$ a ještě pro pořádek dodáváme, že nultá derivace je funkce samotná (žádná derivace). Aproximace je také nejpřesnější, čím blíže bodu $x_0$ jsme.

Číslo $n$ můžeme zvolit, jak chceme, čím $n$ bude větší, tím přesnější aproximaci dostaneme. Všimněte si, že pro $n=1$ máme vzorec s derivací, který jsme používali v Oživlé geometrii (akorát jsme tehdy psali $x+\mathrm{\Delta }x$): $$f(x_0+x)\approx f(x_0)+x\cdot f^{\prime }(x_0).$$

Nabízí se otázka: co kdybychom řekli, že $n$ je nekonečno? Pomocí matematické analýzy se pak dá dokázat, že za určitých podmínek nekonečná řada vskutku k funkci konverguje. Můžeme tak funkce vyjádřit jako polynomy nekonečného stupně, a to se mnohokrát hodí. Např. sinus můžeme vyjádřit jako $$\sin (x)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots$$

Znázornění můžete vidět na obrázku níže, kde je funkce sinus a jejich několik prvních aproximací.

Fourierův rozvoj

Jestliže jde funkce vyjádřit jako polynom nekonečného stupně, lze je ještě vyjádřit nějak jinak ve stejném duchu? Tuto otázku si položil Joseph Fourier v 18. století a přišel na to, že funkce lze vyjádřit také pomocí nekonečné řady funkcí sinus s různou periodou. Takový rozklad již nebudeme představovat matematicky, ale ukážeme jej na „obdélníkové funkci” na obrázku níže. Tam můžeme vidět fourierovu řadu pro $n=1$, $n=2$, $n=10$ a $n=100$, jak se čím dál tím více blíží k obdélníkové funkci.

Fourierův rozklad má i fyzikální význam. Pokud si představíme funkci $f(x)$ jako zvukový signál, tedy něco jako $I(t)$, intenzitu v čase, tak nám rozklad ukáže, které frekvence se v něm nachází. Dále také funkce $\sin (a(x-xt)$ jsou význačným řešením výše zmíněné vlnové rovnice: můžeme je pomocí Fourierova rozkladu kombinovat a tvořit tak nová řešení.

Funkcionální analýza

Ve vícedimenzionální analýze jsme rozšířili rozměry prostoru, ve kterém umíme derivovat. Ve funkcionální analýze se z tohoto prostoru probouráme někam úplně jinam: do prostoru funkcí. Ve vícedimenzionálním prostoru můžeme bod vyjádřit jako tzv. vektor, např. ve 3D prostoru jako trojici $(x,y,z)$. Oproti tomu bod v prostoru funkcí je $f(x)$ mohli bychom se snažit vytvořit tabulku: $(f(1),f(2),f(3),\dots )$. Mohli bychom si tedy myslet, že takto lze vyjádřit funkci jako nekonečný vektor, ale chyba lávky. Vzpomeňme si na nultou kapitolu Oživlé geometrie, kde jsme se dotkli rozdílu mezi celými a reálnými čísly: reálných čísel je nespočetně mnoho.

Prostor funkcí je proto nekonečně rozmanitější než nějaký vícedimenzionální prostor. Přesto však existuje světélko naděje: polynomy. Ty lze vyjádřit jako bod ve spočetně nekonečném prostoru, což je o trochu příjemnější. Jak? Každý polynom je totiž jednoznačně identifikovaný jeho koeficienty. Můžeme tak třeba $P(x)=1+x^1-2x^2$ napsat jako $P=(1,1,-2,\dots )$. A třída polynomů není vůbec chudá, vzpomeňme si, že díky Taylorově rozkladu lze hodně funkcí vyjádřit jako nekonečý polynom!

Když tedy víme, že prostor funkcí je v nějakém smyslu snesitelný, jak na něm derivovat? Jednoduše, zavedeme si tzv. funkcionál $\mathcal{F}$. Do něj vložíme funkci a on nám dá číslo, tedy $$\mathcal{F}:f(x)\mapsto F[f(x)]=a,$$

kde $a$ je nějaké reálné číslo závisející na volbě $f(x)$. Jednoduchý funkcionál může být např. ${\mathcal{F}}_0$, takový, který každé funkci přiřadí číslo nula. Ten se však k ničemu praktickému nehodí, proto zakládáme většinou jiné. Např. pokud $f(x)$ značí rychlost auta v závislosti na poloze na dálnici, ta funkcionál můžeme vybrat takový, aby spočítal celkovou spotřebu auta. Když ho pak umíme derivovat, můžeme najít takovou extrémní funkci, která spotřebu paliva minimalisuje. Zatímco tedy v normální analýze máme zadanou funkci a hledáme její maximum, zde máme obecný problém a hledáme funkci, která jej nejlépe vyřeší.

Obecné

Toto jsou tedy hlavní směry, kterými se můžeme ve zkoumání matematické analýzy dále vydat. Opomenuli jsme zde ještě důležité odvětví komplexní analýzy, neboť komplexní čísla jsme zde vůbec nepředstavovali, tak by bylo složité vše vysvětlit. Na závěr doplníme ještě pár odkazů.

• David Morin píše pěkné učebnice o fyzikálních tématech, např. o oscilacích: https://scholar.harvard.edu/files/david-morin/files/waves_oscillations.pdf
• Jednu učebnice ekonomie, ve které se vyskytuje kalkulus, můžete najít na následujícím odkazu: https://standupeconomist.com/stand-up-economics-the-micro-textbook/.
• Diferenciální počet se taktéž hojně užívá v populárním odvětví kvantové fyziky. Pro úvod do ní doporučujeme učebnici Úvod do kvantové mechaniky od Lubomíra Skály.
• Pokud vás zajímá populárnější úvod do problematiky diferenciálního počtu, neměli byste opomenout knihy Stevena Strogatze, např. knihu Infinite Powers.

<< Předchozí kapitola