8. Harmonický oscilátor

Pomocí exponenciální funkce lze popsat růst populace organismů. Tento model však má velké omezení, a to sice že počet jedinců neustále roste. Nezřízený růst můžeme sice pozorovat nějaký omezený čas na začátku děje, nicméně po nějaké chvíli musí ustat. V této kapitole se podíváme na jiný model populační křivky, který takové chování popisuje. Tento takzvaný harmonický oscilátor má však využití hlavně ve fyzice, k čemuž se dostaneme v následující kapitole.

Ukážeme si tady další významnou rovnici: rovnici harmonického oscilátoru. Je to druhá rovnice a poslední rovnice, kterou si zde představíme. Cílem Obnažené algebry je však ukázat, že právě tyto dvě rovnice stačí na popsání velké třídy jevů, které můžeme v životě popsat. Exponenciální rovnice popisuje nespoutaný růst (či pokles), divoký jako život sám. Bohužel je však tak neovladatelný, že nemá žádnou mez. Harmonický oscilátor jako protipól popisuje spoutaný vývoj, který je klidný, houpavý, harmonický. Také se dá použít na popsání malých výchylek ze stability.

Zhruba takový je charakter dvou rovnic, které zde uvidíte. Podle jejich popisu můžete vytušit možnou šíři jejich užití. Až k popisu přechodových jevů, mezi stabilitou a nespoutaností, nebo pokud chceme v popisu větší přesnost, bychom potřebovali jiné diferenciální rovnice. Jistě je k tomu mnoho literatury, avšak již to leží mimo rozsah tohoto textu.

Představení problému

Představme si, že naše populace organismů se dostala ven z primordiálního brčálu a vyvinula se již dostatečně na to, aby připomínala třeba dnešní králíky. Dejme tomu, že za nějaký čas se dostane do nějakého stabilního bodu, tedy $n(t)=N$, kde $N$ je nějaký velmi velký počet jedinců.

Důvod pro stagnaci populace může být např. to, že v  prostředí je konečné množství potravy, takže jedinců přežívá právě tolik, aby se z prostředí uživili. Populace tak zůstává na konstantní hladině a moc zajímavý vývoj nepozorujeme. Jednoho dne však může přijít drobné neštěstí: část králíků se otráví, a tak se uvolní místo pro nové. Jak očekáváme, volné místo se rychle začne zaplňovat nově narozenými jedinci, zkusme tento vývoj však popsat matematicky pomocí metod, které jsme si dříve představili.

Oscilace

Nejdříve si zkusme rozmyslet, jak vývoj populace může probíhat kvalitativně. Na počátku je králíků málo, a tak mají nadbytek jídla. Nají se ho více než dosyta a díky tomu se začnou rozmnožovat. Skoro každý pár bude mít potomky, takže když se mláďata narodí, stane se najednou to, že populace bude přesycená. Nezbyde dost jídla pro každého, protože králíků je najednou hodně, a tak někteří z králíků zhynou. Zároveň se však ti přeživší moc nerozmnožují, neboť mají sotva dostatek jídla pro sebe. Skončíme ve stavu, kdy máme málo králíků a nadbytek jídla a situace se může opakovat.

Populace králíků bude tedy tzv. oscilovat, neboli periodicky se pohybovat nad a pod optimálním počtem. Pro představu, jak takový děj může vypadat, uvádíme ilustrační graf.

Sestavení diferenciální rovnice

Na grafu výše vidíme, že funkce $n(t)$ osciluje okolo jisté velké hodnoty $N$. Je tedy praktické nepopisovat samotnou funkci $n(t)$, nýbrž funkci $m(t)\equiv n(t)-N$, která vyjadřuje odchylku počtu králíků od stabilního počtu. Nyní zkusme naše poznatky o oscilaci $m(t)$ podepřít matematickým základem: diferenciální analýsou.

Z minulých kapitol víme, že pomocí derivace populační křivky lze vyjádřit rychlost přírůstku či úbytku králíků. Zatímco tedy funkce $n(t)$ popisuje okamžitý počet jedinců, funkce $n^{\prime }(t)$ souvisí s jejich plodností v daném okamžiku. Abychom byli přesnější, $n^{\prime }(t)$ popisuje porodnost mínus úmrtnost a porodnost je ovlivněna plodností. Podobně $m(t)$ je okamžitá odchylka jedinců a $m^{\prime }(t)$ je příbytek králíků. Zkusme si, jak je to v diferenciální analýse obvyklé, vyjádřit plodnost za určitý malý čas $\mathrm{\Delta }t$: $$\begin{array}{r}{m}^{\prime }(t+\mathrm{\Delta }t)\doteq m^{\prime }(t)+\mathrm{\Delta }t\cdot m^{″}(t).\end{array}$$

Otázka je, jak vyjádřit $m^{″}(t)$. Víme, že druhá derivace obecně bude záviset na čase, ale také bude záležet na odchylce jedinců $m(t)$: když $m(t)=0$, tak $n(t)=N$ a jsme ve stabilním stavu s $m^{″}(t)=0$. Když $m(t)>0$, tak plodnost klesá, a tedy $m^{″}(t)<0$. Opačně $m(t)<0$ znamená $m^{″}(t)>0$. Odhadnout obecnou závislost by bylo složité, ale můžeme si vzpomenout na předpoklad, že počet králíků je od rovnováhy vychýlen jen málo. Je-li tomu tak, můžeme odhadnout, že $m^{″}(t)$ závisí na $m(t)$ tím nejjednodušším možným způsobem: lineárně. Jinými slovy, platí $$m^{″}(t)=-km(t),$$

kde $k$ je nějaká konstanta úměrnosti a mínus se zde vyskytuje proto, že když je odchylka jedinců kladná, tak klesá.

Není žádný větší systémový důvod pro předpoklad lineární závislosti než to, že se jedná v nějakém smyslu o jednoduchou závislost. Intuitivně můžeme podpořit volbu lineární závislosti ještě následujícím argumentem: Jeden z předpokladů byl, že $m(t)$ je malé. Kdyby místo lineární závislosti byla např. závislost $m^2(t)$, tak by platilo $m^{″}(t)\approx 0$, neboť malé číslo násobené malým číslem je ještě menší číslo (např. jedna tisícina krát jedna tisícina je jedna miliontina). To by nebyl moc zajímavý vývoj.

Rovnice harmonického oscilátoru

Pro popis systému tedy máme diferenciální rovnici $m^{″}(t)=-km(t)$. Říkáme jí rovnice harmonického oscilátoru neboť jako řešení uvidíme určitý typ oscilací, kterým říkáme harmonické. Nejvyšší derivace, která se v rovnici vyskytuje, je druhá, a proto říkáme, že to je rovnice druhého řádu. Předchozí rovnice exponenciálního růstu $f^{\prime }(x)=cf(x)$ byla rovnice prvního řádu.

Řešení této rovnice zkusíme opět uhodnout, neboť systematické řešení diferenciálních rovnic je nad naše možnosti. Zkusme jako řešení např. libovolný polynom, $P(x)$. Nechť je stupeň tohoto polynomu $\mathrm{st}P(x)=n$. Zkusíme tedy řešení dosadit do rovnice: $$P^{″}(x)=-kP(x).$$

Vidíme však, že stupeň levé strany je buď $n-2$, nebo $0$ a stupeň pravé strany je $n$. Nabízí se tedy pouze $P(x)=0$, ale to není moc zajímavé řešení. Vidíme dále, že žádný jiný (konečný) polynom nemůže být řešením.

Můžeme zkusit exponenciální funkci $E(x)=e^{ax}$, kde $a$ je nějaký parametr. Nejdřív si předpočítáme dvě derivace: $$\begin{array}{rl}{E}^{\prime }(x)& =\frac{\mathrm{d}{e}^{ax}}{\mathrm{d}ax}\frac{\mathrm{d}ax}{\mathrm{d}x}=e^{ax}a,\\ E^{″}(x)& =a\frac{\mathrm{d}{e}^{ax}}{\mathrm{d}x}=a^2{e}^{ax}.\end{array}$$

Dosadíme do rovnice harmonického oscilátoru a dostaneme: $$\begin{array}{rl}{E}^{″}(t)& =-kE(t)\\ a^2{e}^{at}& =-k{e}^{at}\\ a^2& =-k.\end{array}$$

Vidíme, že naše řešení bude fungovat jen tehdy, pokud $a^2=-k$. Ale žádné reálné číslo tuto podmínku nesplňuje, takže jsme opět narazili do slepé uličky.

Do třetice všeho dobrého zkusme funkci $\sin (ax)$, kde $a$ je parametr. Funkci sinus jsme společně s kosinem zmínili v derivačním dodatku Oživlé geometrie, kde jsme taktéž odvodili jejich derivace. Následně jsme sinus a kosinus zmínili ve čtvrté kapitole Obnažené algebry o souřadnicích. Připomeňme si znova derivace: $$\begin{array}{r}(\sin (x){)}^{\prime }=\cos (x),\\ (\cos (x){)}^{\prime }=-\sin (x).\end{array}$$

Dále pomocí pravidla o derivaci složené funkce máme: $$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}\sin (ax)}{\mathrm{d}x}& =\frac{\mathrm{d}\sin (ax)}{\mathrm{d}ax}\frac{\mathrm{d}ax}{\mathrm{d}x}=\cos (ax)a,\\ \frac{\mathrm{d}\cos (ax)}{\mathrm{d}x}& =\frac{\mathrm{d}\cos (ax)}{\mathrm{d}ax}\frac{\mathrm{d}ax}{\mathrm{d}x}=-\sin (ax)a.\end{array}$$

Můžeme dosadit: $$\begin{array}{rl}(\sin (at){)}^{″}& =-k\sin (at)\\ (a\cos (at){)}^{\prime }& =-k\sin (at)\\ -a^2\sin (at)& =-k\sin (at)\\ a& =\sqrt{k}.\end{array}$$

Je určitě možné vybrat takové $a$, aby $a=\sqrt{k}$, a proto jsme našli jedno možné řešení!

Nejednoznačnost řešení

Máme tedy jedno řešení $m(t)=\sin (\sqrt{k}t)$. Lze si ale lehce ověřit, že $(A\sin (\sqrt{k}t){)}^{\prime }=A\cos (\sqrt{k}t)$, a proto je $A\sin (\sqrt{k}t)$ taktéž řešení pro libovolné $A$. Podobně $(\sin (\sqrt{k}t+\phi ){)}^{\prime }=\cos (\sqrt{k}t+\phi )$ díky řetězovému pravidlu, a tak celkově můžeme napsat řešení ve tvaru: $$m(t)=A\sin (\sqrt{k}t+\phi ).$$

Abychom dostali jen jedno řešení, musíme dodat nějaké dodatečné počáteční podmínky. Např. můžeme požadovat, aby $m(0)=0$ a aby $\max (m(t))=1$. Pak dostaneme pouze $m(t)=\sin (\sqrt{k}t)$.

V obecném případě vyžadují diferenciální rovnice $n$-tého řádu $n$ počátečních podmínek, abychom dostali jednoznačné řešení. Existence těchto podmínek existence souvisí s existencí integračních konstant: můžeme si představit, že k obdržení řešení musíme rovnici $n$-krát integrovat a z toho dostaneme $n$ integračních konstant. Abychom zjistili jejich hodnotu, potřebujeme $n$ dodatečných podmínek.

Existence počátečních podmínek nám možná přináší práci navíc, nicméně je dobré, že existují. Díky nim můžeme pomocí jedné diferenciální rovnice popsat celou řadu podobných fenoménů najednou, stačí vhodně nastavit počáteční podmínky.

Oprávněnost modelu

Povedlo se nám tedy vytvořit model popisující fluktuaci populace okolo stabilního počtu. Otázka je, proč nám nevyšlo to samé řešení jako v případě exponenciálního růstu primordiálních organismů? Vskutku, kdybychom vzali jejich populaci a kus odebrali, vrátili by se do stabilního počtu po exponenciále jako tam původně přišli.

Rozdíl spočívá v jiných předpokladech. Zde jsme totiž nejdůležitější rovnici $m^{″}(t)=-km(t)$ odvodili z nějakých nezávislých předpokladů a to je jiná rovnice než $n^{\prime }(t)=kn(t)$, která platila v minulém případě. Jedná se tedy o odlišný systém, a proto jsme také zvolili odlišné organismy — králíky. Věříme, že lépe representují tento oscilující systém, neboť jsou těhotní a těhotenství trvá nějakou dobu, a tak se může stát, že z velkého množství jídla se narodí příliš velké množství potomků.

<< Předchozí kapitola >> Další kapitola