V minulé kapitole jsme pro ukázku diferenciální rovnice sledovali padající kámen. Pohyb kamene popisujeme cizím slovem jako translační, abychom vyzdvihli, že se pohybuje po nějaké trajektorii. Oproti tomu předmětem této kapitoly bude pohyb rotační a s s ním související otázka souřadnicových soustav.
Zmínili jsme, že diferenciální rovnice slouží k představení nových funkcí. V této kapitole si o dvou nových, tzv. goniometrických funkcích povíme. Představíme je sice nezávisle na diferenciálních rovnicích, ale později souvislosti objasníme.
Koncepty, které v této kapitole představíme, nejsou vůbec moderní. Všechny příklady mohl řešit, nebo řešil sám Newton, když diferenciální počet zakládal. Z hlediska vývoje matematiky se jedná o poněkud zastaralé problémy: zatímco jiné oblasti matematické analýzy ještě dnes kvetou, zde představené problémy lidé již dávno vyřešili a nyní je považují za samozřejmost. Je však ironií osudu, že ty samé problémy, které na papíře s potem v tváři řešili Evropští matematici 18. století, dnes nacházejí využití v naprosto odlišné oblasti: vývoji počítačových her.
Souřadnicové soustavy jsou totiž naprosto klíčové, aby počítač věděl, kde se hráč, nepřátelé a herní objekty nachází. Věci se navíc pohybují, a tak je třeba řešit pohybové rovnice, aby vše probíhalo realisticky. Samozřejmě, výpočetní metody se za 300 let poněkud posunuly a počítače rovnice řeší numericky, hrubou silou. Přesto je pro herní vývojáře důležité koncepty znát, aby do hry nepřinesli nějaké glitche.
Na úvod se podíváme na další otázku, kteou se zabýval Isaac Newton — problém kbelíku s vodou. Představme si tedy vědro s vodou, na jehož držadlo jsme přivázali provaz. Tento provaz pomalu zatočíme kolem své osy (asi tak jako když ždímáme ručník). Následně lano pustíme a kbelík se i s vodou začne točit.
Nastanou postupně tři situace:
Všichni jsme seznámeni s rotačním pohybem — kolotoč, jojo, mixér, kola auta, Země kolem Slunce, to vše vykonává otáčivý pohyb. Každý, kdo byl na kolotoči, na vlastní kůži zná, jaká odstředivá síla je při rotačním pohybu přítomná. Otázka však zůstává, jak rotační pohyb rozeznat z fyzikálního hlediska a kdy přesně potkáme odstředivou sílu. U translačního pohybu z minulé kapitoly jsme si vystačili s relativním pohybem těles vůči sobě, ale na příkladu výše vidíme, že to již nemůžeme použít: před roztočením je relativní pohyb vody vůči kbelíku nulový, a po roztočení taky. Přesto se obě situace liší tím, že v jedné zaznamenáváme odstředivou sílu a ve druhé ne.
Může se to zdát jako slovíčkaření, ale ve skutečnosti to skrývá hlubokou myšlenku. Všichni se totiž asi smíříme s tím, že translační pohyb je relativní: např. nepoznáme, jestli se vlak pohybuje vůči zemi nebo země vůči vlaku. Ale rotační pohyb s sebou nese síly: smíříme se s tím, že když roztočíme kolotoč, tak na něm budeme cítit odstředivou sílu. Ale když roztočíme celý svět a kolotoč necháme stát, měli bychom tím na kolotoči vytvořit nějakou sílu? Na to se nyní podíváme blíže.
Abychom popsali rotační pohyb tuhého tělesa, musíme popsat rotaci každého jednotlivého bodu v něm. Tato rotace probíhá prostě jako pohyb tohoto bodu po kružnici a to je situace, kterou si velmi dobře umíme představit, viz obrázek.
Dostáváme se poněkud hlouběji do říše fyziky, a proto si musíme představit poněkud technický koncept: souřadnicovou soustavu. Každý tak nějak předpokládá, že se pohybujeme v prostoru, ale jakožto lidé se v prostoru také chceme orientovat. Proto zavádíme souřadnicovou soustavu, což je způsob, jak každému bodu přiřadit jedinečnou sadu čísel — souřadnice, které jedinečně popíší jeho polohu v prostoru. Každé místo tak bude označeno jinou sadou čísel a v prostoru se tak neztratíme.
Nezdá se to, ale vynález kartézských souřadnic umožnil matematikům tehdejší doby propojit geometrii a algebru, které do té doby fungovaly odděleně. Více o tomto zázračném propojení naleznete v knize Infinite Powers od Stevena Strogatze.
Nejpopulárnější souřadnicovou soustavu vymyslel v 17. stol. René Descartes a na jeho počet se jmenuje kartézská. My se budeme soustředit na dvoudimenzionální (2D) prostor, neboli např. list papíru. Pro popis bodů na něm si nejprve vybereme počátek a dvě kolmé přímky procházející tímto bodem. Každý bod dostane dvě souřadnice: $x$ a $y$, které označují jeho výšku a délku podél dvou os. Počátek má tedy polohu $x=0$, $y=0$, což zapisujeme jako $(x,y)=(0,0)$.
Kartézské souřadnice lze použít ve mnoha situacích, ale na popis rotace se zrovna moc nehodí. Proto zavádíme polární souřadnice, které jsou otáčení přímo přizpůsobeny. Opět si musíme zvolit pevný bod se souřadnicemi $(0,0)$ a jednu přímku, která jím prochází. Jako souřadnice nám nyní bude sloužit vzdálenost od počátečního bodu $r$ a úhel $\varphi$ od přímky (měřený po směru ručiček) — viz obrázek.
Všimněte si, že v obou případech je poloha tělesa jednoznačně určena pomocí dvou parametrů: buď $x$ a $y$, nebo $r$ a $\varphi$. Jediná nejednoznačnost je pro $r=0$, tam nezáleží na hodnotě $\varphi$ — na to si musí programátoři dávat pozor.
Slovo goniometrický pochází od řeckého gonia, což znamená roh. Dalo by se tedy říci, že se jedná o funkce rohoměrné.
Jak kartézské, tak polární souřadnice popisují všechny body v prostoru. Měli bychom tedy být schopni mezi nimi přecházet. Podívejme se tedy na to, jak z polárních souřadnic dostaneme kartézské. Budeme si však muset představit dvě nové funkce — sinus a kosinus, které spolu s jinými podobnými souhrně označujeme jako goniometrické funkce.
Zavedení funkcí sinus a kosinus vychází z potřeby efektivně popsat pravoúhlé trojúhelníky, což se využívá např. v zeměměřičství. Představme si proto obecný pravoúhlý trojúhelník ABC se stranami $a$, $b$, $c$ a úhly $\alpha$, $\beta$, $\gamma$:
Součet úhlů v trojúhelníku je vždy $180^\circ$, takže očividně platí $\beta = 90^\circ - \alpha$. Dále také víme, že k tomu, abychom nakreslili trojúhelník, potřebujeme znát alespoň tři jeho údaje. Zde se jedná o pravoúhlý trojúhelník, takže již známe jeden jeho úhel. Pro nakreslení trojúhelníku stačí tedy dodat délku jeho strany $a$ a velikost úhlu $\alpha$.
Ukazuje se však, že délka strany $a$ je z určitého pohledu pro určení trojúhelníku méně podstatná než velikost úhlu $\alpha$ — totiž pravoúhlé trojúhelníky se stejným $\alpha$ ale různým $a$ jsou si podobné. Podobnost je matematický pojem, který říká jednoduše to, že dva podobné trojúhelníky jsou navzájem „nafouklé”, tj. že jeden dostaneme z druhého pouze pomocí škálování (násobení konstantou).
Tvrzení o podobnosti dává smysl, neboť vlastně odpovídá tomu, že trojúhelník měříme v jiných jednotkách. Můžeme mít např. trojúhelník s délkami $a=3\,\mathrm{cm}$, $b=4\,\mathrm{cm}$, $c=5\,\mathrm{cm}$, nicméně v USA by jej měřili pomocí palců. Dostali by jiné hodnoty $a_p$, $b_p$, $c_p$ v palcích, ale jednalo by se o ten samý trojúhelník. Při tom platí $a_p = k\cdot a$, $b_p = k\cdot b$ a $c_p = k\cdot c$, kde $k$ je nějaká převodní konstanta
Pro dva podobné trojúhelníky dále také platí, že poměr jejich odpovídajících stran je stejný. Např. tedy $a_p/c_b=a/c$, což lze dokázat následovně: $$\frac{a_p}{c_p} = \frac{a \cdot k }{c \cdot k} = \frac{a}{c}\,.$$
S tím již souvisí zavedení goniometrických funkcí — pro trojúhelník s úhlem $\alpha$ využijeme zmíněné zachovávající se poměry: $$\begin{align*} \sin (\alpha ) &\equiv \frac{a}{c} & \cos(\alpha ) &\equiv \frac{b}{c} \,. \end{align*}$$
Takto zadefinované funkce lze využít k tomu, abychom zjistili všechny strany libovolného pravoúhlového trojúhelníku. Můžeme totiž psát: $$\begin{align*} c &= \frac{a}{\sin (\alpha)} & b &= c \, \cos (\alpha) \,. \end{align*}$$
Hodnotu funkce $\sin (\alpha)$ přitom můžeme např. změřit pomocí známého trojúhelníku, který je podobný tomu našemu.
Goniometrické funkce definované způsobem výše nicméně mají jisté vady, např. to, že se definice odvolává na trojúhelník, ve kterém $\alpha < 90^\circ$. Proto definici rozšiřme pomocí jednotkové kružnice, viz obr.
Obrázek by šlo zobecnit do tří rozměrů tak, že přidáme další úhel $\theta$, který znázorňuje otočení okolo osy $y$. Toto je velmi důležité pro vývoj her, ale my se pro jednoduchost tím zabývat nebudeme.
Z obrázku lze vidět velký smysl goniometrických funkcí: slouží k přechodu od polárních souřadnic ke kartézským dle následujícího vzorce: $$\begin{align*} x &= r \cos (\varphi) \\ y &= r \sin (\varphi) \,. \end{align*}$$
Tyto vzorce jsou tedy definiční pro funkce $\cos$ a $\sin$. Zároveň je nich zachycena esence předchozího výkladu goniometrických funkcí pomocí trojúhelníků. V nákresu výše totiž máme pravoúhlý trojúhelník se stranami $r_0$, $r_0\sin (\varphi)$ a $r_0\cos(\varphi)$.
Díky naší kružnici můžeme navíc goniometrické funkce rozšířit pro větší úhly než jen $90^\circ$. Např. vidíme, že kosinus úhlů mezi $90^\circ$ a $180^\circ$ je záporný. Dále úhly větší než plný úhel $360^\circ$ se otočí kolem kružnice dokola, dostaneme tedy periodicitu (funkce se opakují). Pro pohodlnost zobrazíme funkce do následujícího grafu:
Za povšimnutí stojí, že již nepracujeme se stupni, ale s přirozenými úhlovými jednotkami, tzv. radiány. To vpodstatě znamená, že celý kruh má úhel $2\pi$ a menší úhly jsou zlomky tohoto úhlu — tedy např. $90^\circ=\pi/2$ (čtvrtina kruhu).
Nejznámější vztah, často využijeme, se nazývá goniometrická jednička. Vhodnější název by snad pro něj byl goniometrická Pythagorova věta, neboť z ní můžeme vyjít pro odvození identity: $$\begin{align*} a^2 + b^2 = c^2 \Rightarrow \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1 \Rightarrow \sin^2(\varphi) + \cos^2(\varphi) = 1 \,. \end{align*}$$
Všimněte si, že stejně jako Pythagorova věta platí pro jakýkoliv trojúhelník, tak goniometrická jednička platí pro jakýkoliv úhel $\varphi$. Dále také známe součtové vzorce goniometrických funkcí: $$\begin{align*} \sin (\alpha + \beta) &= \sin (\alpha) \cos (\beta) + \sin(\beta) \cos(\alpha) \\ \cos (\alpha + \beta) &= \cos (\alpha) \cos (\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta) \,. \end{align*}$$
Platnost součtových vzorců lze vykoukat z následujícího nákresu:
Tyto vzorce lze využít k odvození derivace goniometrických funkcí, jak jsme je již psali v derivačním dodatku Oživlé geometrie. Pro připomenutí: $$\begin{align*} \sin'(x) &= \cos(x) \,,\\ \cos'(x) &= -\sin(x) \,. \end{align*}$$
Obsáhlejší goniometrická vsuvka je za námi, nyní se můžeme podívat, jak to tedy je s tím rotačním pohybem. Nejprve pomocí polárních souřadnic. Představme si tedy bod rotující kolem středou souřadnicové soustavy ve vzdálenosti $R$ a snažme se najít $r(t)$ a $\varphi (t)$.
Očividně se při rotaci nemění vzdálenost bodu od středu, takže máme $\dot r =0$ (připomínáme, že tečka značí časovou derivaci), tedy $r(t) = R$. Úhel $\varphi$ se dále mění konstantní rychlostí, což lze popsat jako $\dot \varphi = \omega$, kde $\omega$ je tzv. úhlová rychlost. Integrací dostaneme: $$\begin{align*} \dot \varphi = \omega \Rightarrow \int \dot \varphi \, \mathrm{d} t &= \int \omega \, \mathrm{d} t \\ \varphi (t) = \omega \cdot t + \varphi_0 \,, \end{align*}$$
kde $\varphi_0$ je integrační konstanta označující počáteční úhel (většinou rovna nule). V kartézské soustavě dostáváme: $$\begin{align*} x(t) &= r \cos (\omega t + \varphi_0) \,,\\ y(t) &= r \sin (\omega t + \varphi_0) \,. \end{align*}$$
Stačilo využít převodního vztahu mezi soustavami. Nyní si zkusme spočítat zrychlení bodu, který se takto pohybuje po kružnici — zrychlení je druhá derivace polohy podle času, musíme tedy dvakrát zderivovat obě souřadnice $x$ a $y$ a dostaneme ho. Přesněji řečeno dostaneme zrychlení ve směru $x$ a zrychlení ve směru $y$. Derivujme tedy $x$: $$\begin{align*} \dot x(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} r \cos (\omega t + \varphi_0) = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} \cos (\omega t + \varphi_0) + r\frac{\mathrm{d}\cos (\omega t + \varphi_0) }{\mathrm{d}t} = 0 - r \sin (\omega t + \varphi_0) \cdot \omega \,. \end{align*}$$
V tomto výpočtu jsme použili nejprve pravidlo pro derivaci součinu, dále pravidlo pro derivaci složené funkce ($\omega t + \varphi_0$ je vnitřní, $\cos$ vnější) a naposled to, že derivace $r$ je nulová. Derivujme podruhé: $$\begin{align*} \dot x(t) = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} r \omega \sin (\omega t + \varphi_0) = - r\omega^2 \cos (\omega t + \varphi_0) \,. \end{align*}$$
Souřadnice $y$ by jistě dopadla obdobně díky symetrii problému. Zrychlení nám vyšlo záporně, protože počítáme s tím, že se v prvních okamžicích poloha $x$ bude jen zmenšovat, když začíná na maximu (případ $\varphi_0=0$).
Dostali jsme však zajímavý výsledek: zrychlení je nenulové a periodicky se mění jako kosinus v případě $x$ (a sinus v případě $y$). Krom toho nám výsledek říká, že vůbec nějak zrychlení probíhá. A to je zásadní změna oproti translačnímu pohybu.
V rovnoměrném přímočarém (translačním) pohybu ve směru $x$, platí $\dot x = v(t) = v_0$, ale $\ddot x = a(t) = 0$. Oproti tomu v rovnoměrném rotačním pohybu máme $\dot \varphi = \omega$, nicméně jak jsme ukázali, to je pohyb zrychlený. Nutně tedy stojící pozorující je z pohledu rotujícího pozorujícího neinerciální.
V tomto leží klíč k pochopení paradoxu vědra. Rotační a translační pohyby jsou fundamentálně jiné, a když se přesouváme z jedné soustavy do rotující (např. ze země na kolotoč), tak cestujeme z inerciální do neinerciální. Toto se právě projeví na výskytu sil.
Znamená to tedy, že když roztočíme celý svět a kolotoč zůstane stát, že tím na kolotoči vyvoláme sílu? Podle všeho se zdá, že ano. Tuto zajímavou myšlenku se pokoušel dále rozpracovávat Ernst Mach a ještě poté na ni odpověděl Albert Einstein se svojí teorií relativity.
V obecné teorii relativity jsou prostor a hmota spojeny neoddělitelně spojeny Einsteinovými rovnicemi — něco, na co naráží zmíněný paradox vědra. Zajímavé však je, že zatímco v naší analýze nám hodně pomohl koncept souřadnicových soustav relativistě se naopak konkrétních souřadnic snažíme zbavit. Pohled každého pozorovatele na realitu musí být totiž ekvivalentní, což znamená, že náš popis reality by měl být nezávislý na jakýchkoliv umělých prekoncepcích. Jednou takovou prekoncepcí jsou i souřadnicové soustavy (např. to, kde mají střed je ryze arbitrární a nemělo by teorii ovlivnit), a proto se zavádí tzv. tensorový popis, který popisuje svět bez nutnosti a priori volby konkrétní souřadnicové soustavy.
K dovršení ukázky důležitosti souřadnicových soustav si ukážeme ještě jednu zapeklitou úlohu. Představme si 4 psy v rozích čtvercové místnosti. Každý ze psů má zamířeno na psa, který je napravo od něj ve směru hodinových ručiček. Za svým cílem každý běží rovnou za nosem, to znamená, že v každém okamžiku je jeho rychlost namířena na cíl. Situace je znázorněna na následujícím obrázku.
Je jasné, že psi nebudou běhat po čtverci, protože po chvíli běhu se všichni vychýlí z původních pozic, tak se jim změní směr rychlosti. Ukazuje se, že postupem času psi krouží dokola do středu. Je-li rychlost psů $v$ a původní strana čtverce $a$, za jak dlouho se psi potkají? A jakou bude mít jejich běh trajektorii? Odpověď na druhou otázku již vyžaduje diferenciální počet, první otázku však lze zvládnout již bez něj (stačí využít symetrii). Zkuste se zamyslet nad tím, jestli přijdete na odpověď sami.
Nejprve odpovězme na otázku, za jak dlouho psi doběhnou až do konce. Podle rady si připomeneme rotační symetrii problému — když obrazec ze zadání otočíme kolem středu místnosti o nějaký úhel máme vlastně tu samou konfiguraci. Podívejme se, co se stane po nějaké chvíli, co psi budou běžet. Vzhledem k tomu, že výchozí rozestavení i rychlosti psů jsou symetrické, budou psi po každém čase opět tvořit čtverec.
Dále také víme to, že rychlost psů směřuje po obvodu čtverce na počátku děje. Tak je to i po libovolném čase a z toho můžeme usoudit, že rychlostí $v$ bude každá pes zmenšovat prvotní vzdálenost $a$. Srazí se, až dorazí do nuly, což tedy nastane za čas $\tau = a/v$. Abychom náš popis shrnuli, psi se pohybují jako rotující, zmenšující se čtverec, jehož hrana se zmenšuje rychlostí $v$.
Nyní k výpočtu trajektorie. Budeme sledovat psa v pravém dolním rohu (trajektorie ostatních bude jen otočená) a k popisu zvolíme polární souřadnice tak, že ze začátku má pes $r(0)=a\sqrt{2}/2$ a $\varphi (0) = 0$. Podívejme se na rychlost psa. Můžeme si ji rozložit do dvou pravoúhlých složek jako na obrázku:
Z geometrie čtverce platí, že velikost obou rychlostí je $v\sqrt{2}/2$. Rychlost $v_r$ je dále vždy ve směru poloměru. Jedná se teda o rychlost změny poloměru, tedy $$\begin{align*} v_r = -\dot r \,. \end{align*}$$
Mínus je zde, neboť poloměr ubývá. Dále $v_\varphi$ je vždy kolmá na $v_r$ a je odpovědná za změnu úhlu. Jedná se vlastně o okamžitou rychlostí způsobenou úhlovou rychlostí. Můžeme proto použít vztah $$\begin{align*} v_\varphi = r \dot \varphi = r \omega\,. \end{align*}$$
Dostali jsme dvě diferenciální rovnice, které můžeme řešit, abychom zjistili trajektorii. První rovnici lze řešit jednoduše, je obdobná případu padajícího kamene: $$\begin{align*} v_r &= -\dot r \\ \int v_r \, \mathrm{d} t &= -\int \dot r \, \mathrm{d} t\\ r(t) &= C - v_r t \Rightarrow r(t) = (a- v t) \sqrt{2}/2 \,. \end{align*}$$
Při integraci $\dot r$ jsme využili fundamentální větu diferenciálního počtu (integrace je v jistém smyslu inverzní operací k derivaci). V poslední úpravě jsme jen dosadili $C= r(0)$, aby řešení sedělo s počátečními podmínkami (můžete si ověřit, kolik je $r(0)$). Dále jsme užili, že $v_r= v\sqrt{2} /2$ a nakonec jsme vytkli konstantu.
Toto řešení můžeme dosadit do druhé rovnice a tu taktéž vyřešit: $$\begin{align*} v_\varphi &= r \dot \varphi = r \omega\\ v_\varphi &= (a- v t) \sqrt{2}/2 \dot \varphi \\ \frac{\sqrt{2} v \sqrt{2}/2}{a- v t} &= \dot \varphi \\ \int \frac{v}{a- v t} \, \mathrm{d}t &= \int \dot \varphi \, \mathrm{d}t\,. \end{align*}$$
Ze zkušenosti víme, že pravá strana se po integraci bude rovnat $\varphi$, levá strana je těžší. Můžeme ji opět dosadit do integrální kalkulačky jako WolframAlpha, nebo si vzpomenem na funkci logaritmus a její derivaci. Nic si z toho nedělejte, pokud logaritmus neznáte, představíme ho v příštích dvou kapitolách (můžete se sem vrátit). Každopádně platí, že logaritmus je speciální funkce, pro kterou platí: $$\begin{align*} \log'(x) = \frac{1}{x} \,. \end{align*}$$
Mohli bychom tedy experimentovat s různou formou logaritmu a posléze bychom zjistili, že $$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(-\log(a-vt)\right) = \frac{v}{a-vt} \,. \end{align*}$$
Toto si můžete ověřit pomocí pravidla o derivaci složené funkce, každopádně to můžeme využít v řešení naší rovnice: $$\begin{align*} \int \dot \varphi \, \mathrm{d}t &= \int \frac{v}{a- v t} \, \mathrm{d}t\,. \varphi(t) = -\log(a-vt) + C\,. \end{align*}$$
Konstantu $C$ Můžeme dosadit jako $C=\log(r_0)$, což opět splní počáteční podmínky, takže dostaneme (s využitím pravidla pro rozdíl logaritmů): $$\varphi(t) = \log \left( \frac{r_0}{a-vt} \right) \,.$$
Výsledek o $r$ potvrzuje naše očekávání — poloměr lineárně ubývá s časem a za předpovězenou dobu dojde do nuly. Naproti tomu úhel se mění logaritmicky — výsledný tvar trajektorie je tedy logaritmická spirála. Jedná se o magický útvar, který je kupříkladu soběpodobný a mají ho třeba ulity loděnky, víry tornáda, či je to tvar naší galaxie. Můžete jej vidět na obrázku níže.
O stránce
Články
Návody
Odkazy
O mně