Populární hádanka zní následovně: na jezeře se jednoho rána objevil leknín. Druhého rána byly již dva, třetího 4 atd., každý den se jejich počet zdvojnásobil. Desátého dne jich bylo již 512, kolikátého dne jich byla polovina? Zbrklý člověk briskně odpovídající, že v brčále polovina leknínů byla pátého dne, se plete. Ježto se každý den počet rostlin zdvojnásobí, polovina konečného počtu byla v předposlední, devátý den.
Tento chyták většinou neslouží k ničemu jinému než k pobavení, nicméně z matematického hlediska relativně přesně popisuje fenomén šíření a vzniku života. Představme si na chvíli, že se nacházíme v jakémsi primordiálním brčálu, ve kterém podle vědeckých teorií život vznikl, a soustřeďme se na první vzniklý organismus — jak se asi bude tento život po světě šířit?
Tímto se podíváme do dalšího pole, které diferenciální počet může využívat: biologie. Je sice pravda, že ne každý biolog ho využije, přesto se jedná o pestrou ukázku. Krom biologie a exotických organismů také objevíme dvě exotické funkce.
Mluvíme o prvním organismu, který se na naší planetě objevil, takže nemá žádné predátory, může se jen šířit. A to taky dělá, koneckonců, podle některých definic je schopnost množit se kritérium pro život. Řekněme, že jednou za nějaký čas $T$ se náš organismus rozdělí na dva úplně stejné organismy. Ty se za další čas $T$ zase rozdělí atd. Toto dělení samozřejmě nepokračuje stejným způsobem ad absurdum, pravděpodobě někdy náš organismus zemře nebo zmutuje, ale předstírejme, že se to nestane, a zkusme napsat prvních několik počtů jedinců v nějakých časech.
O stránce
Články
Návody
Odkazy
O mně
Čas | 1T | 2T | 3T | 4T | 5T | 6T | 7T | 8T | 9T | 10T | 11T
-----------------------------------------------------------------
Počet | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024
V tabulce výše jsme dostali stejný vývoj jako pro případ leknínů. Pojďme tedy tabulku pokračovat. Jenom pro přehlednost změníme jednotky a budeme naše organismy počítat ne po jednotkách, ale po tisícovkách. Také určitě nějací chudáci za 11 $T$ umřeli, takže budeme předpokládat, že na konci 11. cyklu je jich zhruba tisíc. Počkat, naše tabulka se ale v tomto případě opakuje! Dostaneme úplně stejný vývoj, jen místo jednotek organismů máme tisícovky. Vidíme tedy, že za každých 11 $T$ se počet živočichů zvětší tisíckrát, takže zanedlouho jich bude opravdu hodně.
Zkoumejme tento děj pořádněji a vynesme graf počtu živočichů v čase. Tento počet, neboli velikost populace, označíme $n$ a čas $t$. Dostaneme graf níže.
V grafu jsou křížky vyznačeny skutečné hodnoty počtu populace v určitých časech $T$. Již jsme se bavili o tom, že populační vývoj se vyvijí stále stejně, představme si tedy, že $n$ je na ose uvedeno v nějakých větších jednotkách, třeba v desetitisících. Potom se zcela jistě neděje to, že by se populace našich živočichů najednou zdvojnásobila, ale každý jedinec se rozdvojuje v jiném čase. Vzhledem k tomu, že jich je již hodně, rozdvojují se prakticky pořád. Vývoj jejich populace v čase tedy neprobíhá skokově, ale skoro spojitě. V takovém případě, abychom si usnadnili pochopení tohoto procesu, body prokládáme křivkou, která na obrázku je čárkovaná. Jedná se o funkci, která zhruba popisuje počet jedinců v čase.
Jak jsme přišli na tuto funkci, kterou jsme body proložili? Když se podíváme do populační tabulky, vidíme, že počet lze znázornit jako $n = 2^{x}$, kde $x$ je přirozené číslo. Číslo $x$ značí počet uplynulých reprodukčních cyklů. Víme, že jeden cyklus uplyne za čas $T$, takže pokud uplyne čas $t$, nastalo už $t/T$ cyklů. Můžeme tedy psát $n=2^{t/T}$. Pak jsme graf vynesli pomocí počítačového programu. Pro přehlednost budeme funkci $n=n(t)$ nazývat populační křivkou.
Možná se zdá, že na úloze o šíření života již není co řešit, neboť jsme popsali, jak se jejich počet bude vyvíjet v čase. Náš popis nicméně končí zakreslení bodů do grafu. Čárkovaná populační křivka už je něco, čemu říkáme model, neboli nějaký zjednodušený popis reality. A tento model má své nedostatky, neboť např. podle něj se počet organismů bude zvětšovat do nekonečna — toto se v reálném světě neděje. Abychom mohli porozumět, v čem model lze vylepšit, proveďme diferenciální analýsu populační křivky: zkoumejme její derivaci. K tomu budeme potřebovat následující vzorec: $$ 2^{\frac{t+c}{T} } = 2^{c/T} \cdot 2^{t/T} \,.$$
Vzorec výše vychází z jednoduchých pravidel pro mocnění, přesto nám však odhaluje zajímavou pravdu. Stačí přepsat $2^{t/T} = n(t)$. Když už jsme u toho, řekněme, že $T=1$, abychom si zjednodušili počty (to odpovídá tomu, že $t$ značí proběhlý počet reprodukčních cyklů i s částí započatých). Dostaneme: $$n(t+c) = 2^c \cdot n(t) \,.$$
Když kreslíme graf obecné funkce $f(x)$, dostaneme graf funkce $f(x+c)$ tak, že graf funkce $f(x)$ posuneme o $c$ doleva. Odpovídá to tomu, funkce $f(x+c)$ nabývá své hodnoty o $c$ dříve. Na druhou stranu násobení funkce nějakou hodnotou si dovedeme jednoduše představit, všechny body se posunou nahoru. Rovnice výše říká, že tyto dvě operace jsou u populační křivky ekvivalentní.
Tento zvláštní fakt lze využít při výpočtu derivace. Derivace je totiž pouze sklon křivky v nějakém bodě, můžeme si ji představit jako tečnu. Stejná pravidla tedy platí i pro tuto derivaci, totiž: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} n(t+c) = 2^c \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} n(t) $$
Předstírejme nyní, že známe derivaci populační křivky v bodě $t=0$. Jak jistě víme, tato derivace bude rovna nějakému číslu $k=n'(0)$. Dostaneme pak ze vzorce výše: $$ n'(c) = 2^c \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} n(t=0) \,.$$
Nic nám nebrání změnit značení a napsat $c=t$. Dostaneme pak toto: $$\begin{align} n'(t) &= 2^t k\,,\\ n'(t) &= n(t) k\,. \end{align}$$
S funkcí logaritmus se oficiálně seznámíme až v příští kapitole.
Derivace funkce $n(t)$ je tedy až na nějakou konstantu rovna sama sobě! Abychom derivaci znali úplně, musíme určit konstantu $k$, což je derivace funkce $n(t)$ v bodě $t=0$. Později se ukáže, že tato hodnota je rovna $\log (2)\doteq 0{,}7$ (přirozený logaritmus dvou). Vysvětlení tohoto tvrzení s našimi momentálními metodami zatím nemůžeme provést (ještě jsme se ani neseznámili s funkcí logaritmus), necháme si to tedy na jindy. Pro kvalitativní analýzu však bude stačit, když budeme psát $k$.
Když jsme se seznámili s derivací populační křivky, můžeme tento výsledek interpretovat. Za prvé vidíme, že derivace je vždy kladná, tečna ke křivce tedy směřuje vždy nahoru, takže funkce je vždy stoupající — to sedí. Dále vidíme, že kdybychom funkci zderivovali podruhé, dostali bychom opět kladnou hodnotu, a tak pro všechny ostatní derivace (víme, že $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$). Vzpomeneme-li si, že funkce $f'(x)$ vzniklá derivováním funkce $f(x)$ popisuje růst funkce $f(x)$, můžeme tvrdit, že populační křivka „roste, její růst roste, růst jejího růstu roste, růst jejího růstu jejího růstu...” tak, jako jsme to tvrdili u exponenciály v Derivačním dodatku Oživlé geometrie. Růst populace je tak vskutku rapidní.
Abychom lépe pochopili populační křivku organismů, zkusme si představit, že konkrétní jedinec se při jednom dělení rozmnoží na celkem tři další. Potom úvahami dojdeme k tomu, že její populační křivku bude možno popsat funkcí $n_3(t)= 3^t$. Její derivaci pak vyjádříme podle stejného postupu jako výše následovně: $$n_3'(t) = n_3(t) \cdot k_3 \,.$$
Podobně bychom pro různý počet dělení a jiné číslo než $3$ mohli vytvořit odpovídající funkce. Konstanta $k_x$ poté značí sklon funkce $n_x(t)$ v nule. Je jasné, že $k_x < k_y$ pro $x < y$, různou volbou $x$ můžeme sklon $k$ různě spojitě měnit. Určitě tedy pro nějaké $x$ máme $k_x =1$. Pro takovou funkci $n_e$ platí: $$ n_e'(t)= n_e(t)\,.$$
Neboli její derivace je rovna sama sobě, což je rozhodně význačná vlastnost pro funkci. Číslo, pro které toto platí, nazvěme $e$ (zatím o něm nic nevíme). Jak je toto relevantní k našemu příkladu? Vzpomeňme, že původně jsme v populační křivce měli výraz $t/T$, kde $T$ byl čas, za který se organismy rozdvojily. Stejnětak jsme však mohli zvolit jiný čas $T'$, za který se počet organismů zvětší $e$-krát. Rovnou to udělejme, ať se nám snadněji počítá. Také položíme $T'=1$ a dostaneme novou funkci $$n(t) = e^t\,,$$
která popisuje vývoj počtu jedinců v čase stejně dobře jako předchozí funkce, jen má tu pohodlnou vlastnost, že $$n'(t) = n(t)\,.$$
Třídě funkcí, které lze popsat předpisem ve tvaru $f(x) = a^x$, kde $a$ je nějaké číslo, říkáme exponenciální funkce. Mezi nimi vyčnívá právě funkce $e^x$, které samotné se někdy říká exponenciála. Tato exponenciála se někdy značí jako $\exp (x) \equiv e^x$. Vlastnosti exponenciálních funkcí jsme výše na příkladu funkce $2^x$ zkoumali, lze je shrnout takto:
Všimněte si, že výše jsme mohli o funkci $e^x$ mluvit a popisovat její vlastnosti bez toho, abychom věděli, jaká je přesně hodnota $e$, stačilo nám, že nějaké $e$ existuje. Tento přístup se v matematice často používá, umožňuje nám ho matematické značení a algebra.
Výše jsme se dozvěděli, že existuje nějaká funkce ve tvaru $f(x)=e^x$, kde $e$ je neznámé číslo, že $f'(x)=f(x)$. Podívejme se na to, jak velké toto číslo $e$ je. Podle čtvrté kapitoly Oživlé geometrie máme následující vzorec: $$f(x+\Delta x) \doteq f(x) + \Delta x f'(x)\,.$$
Když využijeme poznatek o derivaci a vytkneme, dostaneme následující podobu: $$f(x+\Delta x) \doteq (1+\Delta x) f(x) \,.$$
Předpokládáme zde, že $\Delta x$ je velmi malé číslo. Vidíme, že když se ve funkční hodnotě chceme posunout o malý kousek směrem doprava, stačí funkci vynásobit nějakým koeficientem. Co kdybychom vzorec výše použili dvakrát za sebou? Dostaneme pak následující: $$\begin{align*} f(x+\Delta x + \Delta x) &\doteq (1+\Delta x)(1+\Delta x) f(x)\\ f(x+2\Delta x ) &\doteq (1+\Delta x)^2 f(x)\,. \end{align*}$$
Z podobných úvah vidíme, že obecně pro nějaké celé $n$ platí: $$f(x+n\cdot\Delta x) \doteq (1+\Delta x)^n f(x) \,.$$
Vidíme, že takto můžeme zvolit $n$ velmi velké a vyjádřit tak hodnotu daleko od $f(x)$. Zkusme pomocí této aproximační metody vyjádřit $f(1)$, neboť $f(1)=e$. To provedeme tak, že dosadíme $x=0$ a $\Delta x= 1/n$. Jaké máme zvolit $n$? Co největší, neboť čím větší, tím po menších kouskách se pohybujeme, takže tím přesnější výsledek dostaneme. Úplně přesný výsledek dostaneme, pokud provedeme limitu $n$ jdoucí do nekonečna. Pojďme se tedy kouknout na výsledek (a přitom použijme, že $f(0)=1$): $$f(1) = e = \lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n \,.$$
Říci, čemu se tato limita přesně rovná, s našimi schopnostmi bohužel nedokážeme. Můžeme však použít kalkulačku a dosadit třeba $n=10\,000$ a vyjde nám, že $e\doteq 2,718$. Číslu $e$ se říká Eulerovo číslo a je iracionální stejně jako $\pi$ nebo $\sqrt{2}$. Má tedy nekonečný desetinný rozvoj, tedy tato aproximace pomocí kalkulačky nám může stačit: celý desetinný rozvoj bychom stejně nemohli zjistit.
V této kapitole jsme na problému růstu populace organismů představili exponenciální funkci. V příští kapitole na to navážeme a ukážeme si, proč je tato funkce důležitá k řešení tzv. diferenciálních rovnic. Díky tomu tak dostaneme lepší vhled do původního problému růstu organismů.
Nyní již zhruba víme, co to jsou diferenciální rovnice, pokusme se tedy sestavit vhodnou rovnici pasující k problému živočichů v primordiálním brčálu. Zapomeňme, že víme, jak populační křivka vypadá, popišme ji jinak, pomocí jejího přírůstku (změny).
Sledujme tedy populační křivku v čase $t$. Pak je její funkční hodnota $n(t)$, sice ji přesně neznáme, ale to nevadí. Jaká je hodnota funkce v čase $t+\mathrm{d} t$, kde $\mathrm{d} t$ je malý čas? Bude rovna hodnotě $n(t)$, ke které přičteme nějaký malý přírůstek $\mathrm d t \cdot n'(t)$. Zároveň víme, že za čas $T$ se celý počet populace zdvojnásobí, neboť každý organismus se rozdvojí. Píšeme tedy: $$\begin{align} n(t + \mathrm d t) \doteq n(t) + \mathrm d t \cdot n'(t) &= n(t) 2^{\mathrm d t /T}\\ n(t) + \mathrm d t \cdot n'(t) &= n(t) 2^{\mathrm d t}\,. \end{align}$$
Zde jsme udělali úpravu, kdy jsme položili $T=1$, neboli $\mathrm d t$ jsme interpretovali jako nějaký malý počet reprodukčních cyklů. Dostali jsme tedy nějakou diferenciální rovnici a můžeme pokračovat v jejích úpravách. Pokusme se vyjádřit derivaci populační křivky: $$\begin{align} n(t) + \mathrm d t \cdot n'(t) &= n(t) 2^{\mathrm d t}\\ \mathrm d t \cdot n'(t)&=n(t) (2^{\mathrm d t} -1) \\ n'(t)&=n(t) \frac{ 2^{\mathrm d t} -1}{\mathrm d t} = n(t) \cdot k \,. \end{align}$$
Číslo $k$ jsme napsali opět pomocí logaritmu. Tento výraz je nám zatím neznámý, nicméně brzy si jej osvětlíme.
Zjistili jsme zajímavý fakt, že derivace populační křivky je úměrná samotné populační křivce přes nějakou konstantu $k$. Naše výpočty budou tím přesnější, čím bude $\mathrm d t$ menší, musíme tedy udělat limitní přechod pro $\mathrm d t \to 0$, čímž zjistíme, čemu se rovná $k$. Lze opět použít kalkulačku nebo nějaké pokročilejší matematické metody a zjistíme, že $k=\log (2) \doteq 0{,}7$ (funkci $\log $ jsme ještě nepředstavili).
Tím, že jsme zjistili, že $n'(t) = n(t)\cdot k$, tak jsme dostali pravou diferenciální rovnici pro funkci $n(t)$. Její varianta se vyskytne na našich cestách ještě mnohokrát, tak by bylo dobré ji vyřešit pořádně. K řešení tedy použijeme snad nejelegantnější metodu: uhodnutí. Když bychom totiž shodou okolností přišli na to, jaká funkce řeší tuto rovnici, tak stačí ověřit, že rovnici opravdu řeší, a máme vyhráno (budeme tiše předpokládat, že rovnice nemá např. více tříd řešení).
Funkce, kterou jako řešení navrhneme, je $N(t) = e^{a\cdot t}$, kde $a$ je nějaká neznámá konstanta. Zkusme ji dosadit: $$N'(t) = \frac{\mathrm{d} e^{at}}{\mathrm{d} at } \frac{\mathrm{d} (at) }{\mathrm{d} t} = ae^{at} \,.$$
K derivaci jsme použili derivaci složené funkce, se kterou jsme se seznámili ve druhé kapitole. Konstantu $a$ můžeme blíže určit, když $N(t)$ porovnáme s předchozím výsledkem pro $n(t)$. Dostaneme tak $a=k$. Celkově: $$ N(t) =e^{ \log (2) t} \overset{?}{=} 2^t \,.$$
Dostaneme takto stejný výsledek jako v předchozí kapitole? Abychom jej dostali, muselo by platit toto: $$ e^{\log 2 t} = (e^{\log 2})^t = 2^t \Rightarrow e^{\log 2} = 2 \,.$$
Vynášení funkcí můžete zkusit např. na stránce geogebra.com.
Zde se dostáváme do trochu ošemetnějšího teritoria, protože jsme ještě nepředstavili funkci logaritmu, takže tohle nemůžeme vědět. Pokud bychom si však funkce $2^t$ a $e^{\log (2) t}$ vynesli (třeba i s dosazením $\log (2) \doteq 0{,}7$), obdrželi bychom totožné grafy. Proto jsme se tedy dopracovali ke stejnému výsledku jako minule, jen jinou metodou.
Možná si říkáte, že jsme se ke stejnému výsledku sice dopracovali, ale použili jsme obskurnější metody a pramálo jsme vyjasnili. Diferenciální analýza nám však poskytla úplně nový, nezávislý pohled, na studovaný problém. Možná se zdá složitější, nicméně jedná se o první problém, který jsme z tohoto úhlu pohledu studovali, bylo by zvláštní, pokud bychom s tím neměli obtíže! Ostřílený matematik již těchto problémů řešil bezpočet a nedělají mu problém.
V každém případě, nový úhel pohledu se vždy hodí, neboť nám umožňuje dostat poznatky, které bychom jinak nezískali. Navíc, některé problémy ani bez diferenciálních metod řešit nelze. Hlavně v tom spočívá jejich hodnota.
Při hledání populační křivky jsme narazili na exponenciální funkce. Jako jejich doprovod se občas objevila funkce s označením $\log$, kterou jsme však potichu přešli. Nejen, že obě funkce popisují dobře náš konkrétní problém, ale vyskytují se ve fundamentálních popisech nejrůznějších jiných dějů našeho světa. I proto formální představení funkce $\log$ již nemůžeme dále odkládat. V dalších kapitolách se s nimi budeme setkávat dále a tím je pochopíme ještě do větší hloubky.
Logaritmické funkce píšeme obecně ve tvaru $f(x)=\log_a x$ a čteme „logaritmus o základu $a$ z $x$”. Jedná se opět o třídu funkcí, které lze zapsat v tomto tvaru, různé funkce dostaneme změnou parametru $a$ (ten je pro danou funkci samozřejme konstantní. Logaritmy vždy doprovází exponenciální funkce, neboť jsou k nim inversní. To znamená, že platí: $$\begin{align} &1.\:\: \log_a ( a^x) = x \,, \\ &2.\:\: a^{\log_a(x)} = x \,. \end{align}$$
Inversi lze vyjádřit i tak, že pro každé $x$ platí, že pokud jej vložíme do exponenciály a výsledek poté do logaritmu, dostaneme zase $x$. Jak logaritmus definujeme? Pokud máme rovnici $$ \log_a (x) = y \,,$$
tak $y$ je takové číslo, na kolikátou musíme $a$ umocnit, abychom dostali $x$. Ze zřejmých důvodů platí, že do logaritmu nemůžeme jako $x$ vložit $0$ nebo jakékoliv záporné číslo.
Eulerovo číslo $e$ je důležité i pro logaritmy. Definujeme tzv. přirozený logaritmus jako logaritmus o základu $e$. Značíme jej jako logaritmus naturalis neboli $\ln (x)$, či také prostě logaritmus $\log (x)$. Význačný je také dekadický logaritmus se základem $10$ (pro měření intensity a tzv. logaritmické škály) a binární logaritmus se základem $2$, který nachází využití v teoriích informace.
Pro exponenciální funkce triviálně platí tyto dvě identity: $$\begin{align} &1.\:\: e^{a+b}=e^ae^b \,, \\ &2.\:\: (e^a)^b = e^{ab} \,. \end{align}$$
Logaritmické funkce jsou s exponenciálními spojeny, takže by podobná pravidla měla platit i pro ně. Vskutku, platí tato pravidla $$\begin{align} &1.\:\: \log(x) + \log(y) = \log (xy) \,, \\ &2.\:\: \log(x^y) = y\log (x) \,. \end{align}$$
Jak tyto vztahy dokázat? Jednoduše tím, že si uvědomíme, že každé $x$ lze zapsat jako $e^a$ a každé $y$ jako $e^b$. Pak již stačí jen využít vztahy platící pro exponenciální funkce. Např. pro první logaritmické pravidlo máme levou stranu: $\log e^a + \log e^b = a+b$ a pravou stranu $\log( e^a e^b ) = \log (e^{a+b}) = a+b$. Obě strany se rovnají, pravidlo tedy platí.
O logaritmických funkcích jsme již dlouho psali, nicméně zatím nemáme ponětí, jak by mohly vypadat. Níže je proto ukázkový graf přirozeného logaritmu. Povšimněte si na něm hlavně pomalého stoupání (stoupání stále klesá a klesá, až je logaritmus skoro vodorovný) a také toho, že není definovaný pro záporná čísla. S tím, jak jde $x$ do nuly, tak logaritmus jde do mínus nekonečna (což samozřejmě na grafu nelze dokonale zobrazit).
Pokud o logaritmu slyšíte poprvé, tak je to nejspíš mnoho informací najednou. Nemusíte se strachovat, jestli si vše hned nepamatujete, informace si můžete vždycky znovu vyhledat a pokud je budete potřebovat často, jistě se vám pak vepíší do paměti. Důležité je však si zapamatovat hlavně tyto tři informace:
Zbývá vypočítat derivaci logaritmu. Začneme pomocí definice derivace: $$\begin{align} \frac{\mathrm d }{\mathrm d x} \log x &= \lim_{h \to 0} \frac{ \log(x+h) - \log (x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \log \left( \frac{x+h}{x} \right)\\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \log \left( 1 + \frac{h}{x} \right) = \lim_{h \to 0} h^{-1} \log \left( 1 + \frac{x^{-1}}{h^{-1}} \right) = \log \left[ \lim_{h \to 0} \left( 1 + \frac{x^{-1}}{h^{-1}} \right)^{h^{-1}} \right] \,. \end{align}$$
Na prvním řádku jsme zde využili obou logaritmických pravidel. Na druhém řádku jsme si připravili půdu pro limitu, která připomíná limitu, kterou jsme potkali u exponenciál. Vskutku, stačí si uvědomit, že $h^{-1}=1/h$ pro kladná $h$ jdoucí do nuly lze zapsat jako velká $n$ jdoucí do nekonečna. Píšeme tedy: $$\begin{align} \frac{\mathrm d }{\mathrm d x} \log x &= \log \left[ \lim_{h \to 0} \left( 1 + \frac{x^{-1}}{h^{-1}} \right)^{h^{-1}} \right] = \log \left[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x^{-1}}{n} \right)^{n} \right] = \log \left[ e^{x^{-1}}\right]\\ \frac{\mathrm d }{\mathrm d x} \log x &= x^{-1} = \frac{1}{x} \,. \end{align}$$
Pozn.: obecně platí tento vztah zahrnující limitu výše: $$f(x) = e^x = \lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{x}{n}\right)^n \,.$$