Říká se, že kdo s čím zachází, tím také schází. To rozhodně neplatí pro odvětví finančnictví, neboť snad v žádném jiném hospodářském odvětví se nepohybuje tolik peněz jako zde. Investoři, kteří spravují portfolia, bankovní manažeři, či vědci tvořící ekonomické modely státu zacházejí s nepředstavitelnými finančními toky. Mají tak velkou zodpovědnost a proto se nesmí štítit diferenciálního počtu. Poskytuje totiž mocné nástroje na to, jak odhadnout budoucnost, či maximalizovat zisk. Pojďme tedy zkusit poodhalit některé triky, které se při zacházení s penězi používají.
Ve fyzice platí zákony zachování, platí ale ve finančnictví? Může se zdát, že regulérní banky, které uschovávají peníze lidí a následně je půjčují jiným lidem, se jím neřídí. Než se tedy pustíme přímo do pravého diferenciálního počtu, zdržme se u bank a podívejme se na metody, které používají.
Toto je běžný postup, např. v ČR je nejmenší zákonem povolená rezerva $p$ dvě procenta.
Mějme tedy banku, která bere peníze od lidí na spoření. Přirozeně, lidé si budou peníze v bance chtít uchovávat po dlouhou dobu, a tak s nimi banka bude chtít po tuto dobu investovat. Nastaví si proto pravidlo, že z celkových svých peněz si ponechá pouze $p=10\,\%$ peněz jako rezervu, kdyby si někdo přišel vybrat.
Sledujme nyní celkový počet peněz, které „existují.” Dejme tomu, že na začátku měla banka nějakou částku $C$. Následně z této částky půjčila obnos $(1-p)C$, neboť $pC$ si musela ponechat jako finanční rezervy. Předpokládejme však, že lidé půjčené peníze utratili a noví majitelé peněz si je schovali, jak jinak, do banky. Toto je celkem realistický předpoklad, neboť lidé si peníze do banky dávají často, a i kdyby existovala jiná banka, předpokládejme, že všechny banky mají stejné $p$.
Banka tedy nyní dostala nový obnos $(1-p)C$, ale samozřejmě si ho celý nenechá, ale půjde jej opět rozpůjčovat. To znamená, že půjčí $(1-p)(1-p)C=(1-p)^2C$ peněz. Tyto se jí zase vrátí a opět půjčí $(1-p)^3C$ peněz atd. Otázka tedy je, kolik celkem peněz $S_N$ tak celkově bude v oběhu jen díky původní částce $C$. Pojďme si to zapsat pomocí rovnice: $$\begin{align*} S_N &= C + (1-p) C + (1-p)^2 C + (1-p)^3 C + \dots + (1-p)^N C \\ S_N &= \sum_{i=0}^N (1-p)^i C \,. \end{align*}$$
Jeden možný důvod jména geometrická je, že každý další člen je násobkem toho předchozího. Násobení je pro geometrii velmi důležitým konceptem, neboť pomocí něj můžeme popsat objem.
V této rovnici jsme sčítali celkem $N+1$ členů. Rovnici jsme si dále zapsali i pomocí notace se sumou pro pohodlnost. Náš příklad je vlastně součet posloupnosti, které říkáme geometrická posloupnost. Podobnou úlohu jsme již řešili, když jsme se snažili přijít na vzorec pro sumu prvních $n$ přirozených čísel v Oživlé geometrii. Ukázalo se, že nejlepší metoda je teleskopická, tedy taková, kdy se spousta členů odečte. Pro tuto geometrickou posloupnost můžeme teleskopičnosti dosáhnout, když si vynásobíme celou sumu koeficientem $(1-p)$: $$\begin{align*} S_N &= C + (1-p) C + (1-p)^2 C + (1-p)^3 C + \dots + (1-p)^N C \\ (1-p)S_N &= (1-p) C + (1-p)^2 C + (1-p)^3 C + \dots + (1-p)^N C + (1-p)^{N+1} C \\ \end{align*}$$
Vidíme, že se vynořilo spoustu podobných členů, zkusme tedy od sebe odečíst první a druhý řádek: $$\begin{align*} S_N - (1-p) S_N &= C + (1-p) C - (1-p) C + \dots + (1-p)^{N+1} C \\ S_N(1 - (1-p)) &= C + (1-p)^{N+1} C \\ S_N &= \frac{C + (1-p)^{N+1} C}{1 - (1-p)} \,. \end{align*}$$
Tímto jsme dostali obecně platný vzorec pro součet $N+1$ členů geometrické posloupnosti. Přirozeně nás zajímá, co se stane, pokud $N$ bude velmi velké, tedy pokud poroste nade všechny meze. K tomu provedeme limitní přechod: $$\begin{align*} S \equiv \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \frac{C + (1-p)^{N+1} C}{1 - (1-p)} = \frac{C}{p} \,. \end{align*}$$
Využili jsme faktu, že $(1-p)$ je menší než 1, tudy $(1-p)^N$ je stále menší a menší a jde tedy do nuly. Dostali jsme ale velmi překvapivý výsledek: nějakým záhadným způsobem jsme na začátku vložili do banky $C$ peněz a díky bance je nyní v oběhu $C/p = 10 C$ peněz. Banka tedy jen pomocí nějaké finanční strategie dokázala zdesetinásobit celkový objem peněz.
Tohle zdaleka není teoretický příklad, např. v USA není teoreticky žádný spodní limit na $p$. Avšak čím je $p$ nižší, tím více peněz banka může „jen tak vytvořit”. Samozřejmě, pokud je $p$ velmi nízké, banka nemá skoro žádné rezervy a nikdo jí nebude věřit, nicméně kolik lidí ve skutečnosti ví, jak funguje bankovní systém? Známý podnikatel Henry Ford dokonce kdysi řekl, že kdyby lidé věděli, jak funguje peněžní systém, tak by se strhla revoluce.
Příklad s rezervním bankovnictvím snad nebyl tolik matematicky zajímavý, nicméně ukázal nám jednu věc: v ekonomii se snažíme za každou cenu maximalizovat svůj zisk. Naštěstí k tomu je diferenciální počet nadmíru uzpůsoben, neboť pomoc něj můžeme jednoduše hledat maxima a minima funkce. Stačí si tedy náš zisk napsat jako funkci nějaké proměnné a pomocí derivace můžeme nejvyšší bod najít.
Představme si např. funkci $f(x) = - (x+1)^2 + 4$. Ptáme, pro které $x$ nabývá maxima. S tím nám naštěstí může pomoct derivace. Derivace totiž vyjadřuje sklon tečny k funkci. A pokud funkce nabyde maxima, tak je sklon tečny nulový, viz nákres funkce $f(x)$ níže:
Ptáme se tedy: pro kterou hodnotu $x$ je $f'(x)$ nulová? Toto můžeme zformulovat pomocí rovnice: $$\begin{align*} f'(x) &= 0 \\ (-x^2 + 2x - 1 +4)' &= 0 \\ -2x + 2 + 0 &= 0 \\ x_{\mathrm{max}} &= -1 \,. \end{align*}$$
Vskutku, z nákresu lze vidět, že funkce nabyde maxima pro $x=-1$. Funkční hodnotu v maximu získáme jednoduše jako $f(x_{\mathrm{max}})= 4$.
Zamlčeli jsme však drobnou věc: pomocí derivace nemůžeme určit, jestli se jedná o maximum funkce nebo o minimum: derivace je nulová jak v maximu, tak v minimu. Souhrnně označujeme maxima a minima extrémy. Zároveň se jedná jen o lokální maximum, tedy o maximum funkce jen v jejím bezprostředním okolí.
Vše si můžeme ověřit na funkci $f(x) = x^2$. Tato má derivaci rovnou nule pro $x=0$. Zároveň však zde je minimum funkce. Maximum pomocí derivace nalézt nemůžeme, neboť funkce ani žádné maximum nemá: roste nade všechny meze pro $x\to \infty$. Pomocí derivace lze tedy extrémy funkce nalézt, ale musíme pak ještě nějak zjistit, jestli se jedná o maximum, nebo minimum.
Metoda hledání extrému funguje pro téměř jakoukoliv funkci $f(x)$. To možná nezní příliš zajímavě, ale měli bychom se pozastavit a ocenit tento fakt. Můžeme za $f(x)$ dosadit měnící se teplotu v čase, hustotu Země v závislosti na hloubce, popularitu prezidenta měnící se v čase či podle geografické polohy, nebo třeba průměrný počet peněz lidí v závislosti na jejich věku. Diferenciální počet nám tak poskytuje zcela obecnou metodu, která nachází využití v mnoha polích, o kterých bychom to ani nečekali: a vždy se můžeme opřít o známý matematický základ.
Pro tentokrát se však omezme na pole ekonomie. Zde hledání maxima funkce mohou užít např. firmy hledající optimální strategii prodeje svých produktů. Dejme tomu, že jako firma prodáváte např. sklenice medu. Každý ví, že platí zákon nabídky a poptávky, čili čím více sklenic chcete prodat, tím méně bude každá stát. Otázka je, jaký počet sklenic je pro prodej nejoptimálnější?
Ve funkci $P(Q)$ a celém výpočtu jsme vynechali jednotky.
Dejme tomu, že počet prodaných sklenic je $Q$. Zároveň cena jedné sklenice medu je funkce $P(Q) = 100 - Q$: čím víc jich prodám, tím méně bude jedna sklenice stát. Příjmy lze tedy popsat jako $P(Q)\cdot Q$. Dále máme určité výdaje na produkci medu, které nechť lze popsat funkcí $C(Q)=20 + Q$: tato funkce reprezentuje fixní náklady na výrobu a náklady na výrobu každé další sklednice. Celkový výdělek tak bude $$\begin{align*} V(Q) &= P(Q) - P_-(Q) \\ V(Q) &= 100Q - Q^2 -20 - Q = -Q^2 + 99 Q -20\,. \end{align*}$$
Jaké $Q$ tuto funkci maximalizuje? Musíme derivovat podle $Q$: $$\begin{align*} V'(Q) = -2Q + 99 &= 0\\ 2Q &= 99\\ Q &= 49{,}5\,. \end{align*}$$
Podle této prognózy bych tedy měl vyrobit $45{,}5$ sklenic medu. Kdybych vyrobil více, tak by kleslá cena medu spolu s výrobními náklady měla za následek menší výdělek. Stejnětak při menší výrobě bych neprodal dostatek zboží a také nedosáhl plného výdělku.
Použití lineární funkce pro $P(Q)$ je zanedbání, které platí pro malé škály (jako je např. náš obchod s medem), skutečný trh se řídí spíše funkcí $P(Q) = a/(b+Q^2)$. Dále výrobní náklady na jednotku při velké produkci většinou klesají s množstvím, neboť jsme schopni výrobu zefektivnit. Pak by dávalo smysl volit funkci nákladů např. jako $C(Q)=c + d\sqrt{Q}$. Výpočet s těmito parametry je však již pro nás příliš komplikovaný, ale jen výpočetně! Principielně by se pořád dala použít ta samá metoda na nalezení optimálního počtu zboží.
Často se v ekonomice hovoří o tzv. neviditelné ruce trhu. Jedná se o myšlenku, podle které se tržní ceny a množství prodaného zboží neřídí podle nějakého centrálního plánování či podle libovůle lidí, ale organizují se samovolně, organizuje je ona neviditelná ruka.
Tato analýza vskutku dává docela smysl, protože v tržním prostředí typicky bývá mnohem více firem než jedna. Ta firma, která by nerespektovala optimální ceny a množství svých zboží, by zanikla, proto při podobném procesu jako v Darwinovské evoluci zbyde vždy jedna firma, která cenu a množství produktů má v optimální konfiguraci.
Dva pojmy, které s takovými myšlenkami souvisí, jsou nabídka a poptávka. Nabídka je synonymum pro počet prodaného zboží: jedná se o množství zboží, které obchodník nabízí. Poptávka znamená, kolik zboží lidé ve skutečnosti chtějí a projeví se na ceně: čím více poptávky, tím větší cenu si může obchodník dovolit dát na produkt. Proto můžeme křivce $P(Q)$ říkat křivka poptávky a křivce $Q(P)$ křivka nabídky. Je to dílo neviditelné ruky trhu, že se tyto dvě křivky protnou a zboží se prodává na jednotlivé ceně. Neboť kdyby se prodávalo pod cenou, tak si toho ihned nějaký ziskuchtivý člověk všimne, nakoupí ho, a prodá jej dráž s výdělkem.
Zůstaňme na chvíli u našeho jednoduchého modelu nabídky a poptávky. Co by se stalo, kdyby na trh s medem přistoupila ještě jedna firma prodávající med? Dejme tomu, že naše firma vyrábí med luční a na trh příchozí firma vyrábí med horský. Můžeme napsat opět dvě rovnice pro cenu sklenic medu obou firem: $$\begin{align*} P_l(Q_l, Q_h) &= 100 - 2Q_l - Q_h \,, \\ P_h(Q_l, Q_h) &= 100 - 2Q_h - Q_l \,. \end{align*}$$
V těchto křivkách vidíme, jak poptávku po horském medu trochu ovlivňuje med luční. Ale vzhledem k tomu, že se nejedná o úplně identické produkty, neovlivňuje poptávku stejně jako horský med. Obdobné chování vidíme u poptávky o luční med. Nyní ještě potřebujeme vědět, jaké výrobní ceny budou obě firmy mít, předpokládejme podobnou závislost jako v předchozím případě: $$\begin{align*} C_l (Q_l) &=20 + Q_l \,, \\ C_h (Q_h) &=20 + Q_h \,. \end{align*}$$
Nyní se podívejme, jaké budou mít obě firmy výdělek: $$\begin{align*} V_l(Q_l,Q_h) &= (100-2Q_l-Q_h)Q_l -20 -Q_l = P_l Q_l - C_l \,,\\ V_l(Q_l,Q_h) &= (100-2Q_h-Q_l)Q_h -20 -Q_h \,. \end{align*}$$
To můžeme zjednodušit: $$\begin{align*} V_l(Q_l,Q_h) &= -2Q_l^2+ 99 Q_l - 20 - Q_hQ_l = P_l Q_l - C_l \,,\\ V_h(Q_l,Q_h) &= -2Q_h^2+ 99 Q_h - 20 - Q_hQ_l \,. \end{align*}$$
Do jaké rovnováhy se však tento trh se dvěma prodejci ustálí? To bude záležet na strategii, kterou firmy zaujmou.
Jedna možnost je, že by se firmy spolu spikly v tzv. koluzi. To znamená, že by nabízeli tolik sklenic medu, aby se maximalizoval součet výdělků. Snažíme se tedy najít extrém funkce $$\begin{align*} V(Q_l,Q_h) \equiv V_l(Q_l,Q_h) + V_h(Q_l,Q_h) &= -2Q_l^2+ 99 Q_l - 20 - Q_hQ_l -2Q_h^2+ 99 Q_h - 20 - Q_hQ_l\\ &= -2Q_l^2-2Q_h^2 - 2Q_hQ_l + 99 Q_h + 99 Q_l - 40 \,. \end{align*}$$
K nalezení maxima bychom chtěli použít podobnou metodu jako minule: hledání nulové derivace. Nicméně narážíme na drobný problém: jedná se o funkci dvou proměnných a ne jen jedné. Můžeme však předpokládat, že např. $Q_h$ je konstantní (pokládat $Q_h$ za parametr), a pak dostaneme funkci jedné proměnné. Na tu můžeme již naši metodu bez problému aplikovat a dostaneme jednu podmínku minima. Potom role $Q_h$ a $Q_l$ obrátíme a provedeme tu samou operaci. Ze dvou podmínek se nám snad povede najít, jaké hodnoty mají mít $Q_h$ a $Q_l$.
Derivace funkce dvou proměnných podle jedné proměnné se jmenuje parciální derivace. Bohužel nemáme dostatek prostoru, abychom mohli dostatečně vysvětlit, proč postup popsaný výše do detailu funguje. Dále nemůžeme dokázat, jestli námi nalezené $Q_l$ a $Q_h$ jsou opravdu maxima. Berte tento příklad tedy jen jako hrubý úvod do problematiky.
Nyní tedy můžeme jít derivovat: $$\begin{align*} \frac{\mathrm{d} V(Q_l) }{\mathrm{d} Q_l} = - 4 Q_l - 2 Q_h + 99 &= 0\,,\\ \frac{\mathrm{d} V(Q_h) }{\mathrm{d} Q_h} = - 4 Q_h - 2 Q_l + 99 &= 0\,. \end{align*}$$
Odečtením první rovnice ode druhé dostaneme $Q_h = Q_l$. Tento výsledek dává smysl, neboť rovnice byly symetrické již od počátku. Tento výsledek dosadíme třeba do první rovnice: $$\begin{align*} - 4 Q_l - 2 Q_l + 99 &= 0 \Rightarrow Q_l = 16{,}5 \,. \end{align*}$$
Celkový výdělek tedy bude: $$\begin{align*} V(16{,}5,\,16{,}5) &= 1\,593{,}5 \,. \end{align*}$$
Pro ověření můžeme vyzkoušet jiné hodnoty, třeba $20$ a $10$: $$\begin{align*} V(20,\,10) &= 1\,530 \,, \end{align*}$$
což je méně, než nalezené ekvilibrium.
Nyní předpokládejme, že spolu dvě firmy nespolupracují. Tento předpoklad je většinou splněn, neboť koluze je v hospodářské soutěži většinou zakázaná zákonem. Obě firmy se tedy snaží maximalizovat svůj výdělek nezávisle. Takové soutěži se říká Cournotova soutěž. Dostaneme potom: $$\begin{align*} \frac{\mathrm{d} V_l (Q_l)}{\mathrm{d} Q_l } = (-2Q_l^2+ 99 Q_l - 20 - Q_hQ_l)' = -4Q_l + 99 - Q_h &= 0 \,,\\ \frac{\mathrm{d} V_h (Q_h)}{\mathrm{d} Q_h } = -4Q_h + 99 - Q_l &= 0 \,. \end{align*}$$
Rovnice opět řešíme tak, že ode druhé odečteme první, čímž dostaneme $Q_l=Q_h$. Následně dosadíme do první: $$\begin{align*} -4Q_l - Q_l + 99 &=0 \\ Q_l &= 99/5 = 19{,}8 \,. \end{align*}$$
Dostáváme následující celkový výdělek (výdělek každé z firem je poloviční): $$\begin{align*} V(19{,}8,\,19{,}8) &\doteq 1530 \,. \end{align*}$$
Dostali jsme se tedy opět do pozice, která je méně výhodná, než když by obě firmy spolupracovali.
Celkově by šlo ještě vymyslet spoustu jiných podmínek interakce obou firem, např. stav, kdy jedna firma již prodává a druhá vstoupí na trh. Řešení takových rovnic bychom jistě hravě zvládli a spočetli bychom cenu, na které se trh ustálí. Zároveň by šlo přímočaře na trh přidat další hráče, jen by výsledek opět byl komplikovanější.
Aby se modely staly realističtější, museli bychom zároveň použít jiné funkce než lineární a výpočet bychom pro jednoduchost svěřili počítači. Duch naší metody by však zůstal a mohli bychom tak analyzovat různé tržní pozice. Využití těchto metod se zřejmě nabízí: ve finančních odděleních nejrůznějších firem.
O stránce
Články
Návody
Odkazy
O mně