4. Myslím si funkci...

V předchozích dvou kapitolách jsme se věnovali dvou partikulárním tématům ohledně derivací a integrálů. Využili jsme tuto příležitost k tomu, abychom se podívali na některé konkrétní příklady, nicméně nejednalo se o nic koncepčně převratného — to si představíme nyní. V našem výletu za diferenciální analýsou budeme totiž pokračovat exkurzem do diferenciálních rovnic. Tyto rovnice v sobě kombinují nástroje derivace i integrace, takže se nejspíš trochu zapotíme, nicméně za to můžeme naše znalosti použít na dosud neuchopitelné problémy.

Jak moc jiný nástroj jsou diferenciální rovnice oproti tomu, co jsme potkali doposud? Derivace a integrace nám umožňovali podívat se na funkci a trochu lépe jí porozumět. Hodilo se nám to pro výpočet její průměrné hodnoty, nebo pro výpočet jejího maxima. To je skvělé, pokud máme nějaký problém a dokážeme ho popsat známou funkcí, ale to se v reálném světě děje jen zřídka.

Oproti tomu diferenciální rovnice nám dovedou říct, jakou funkci vůbec máme použít. Je to jako když umíme sčítat čísla, a tak dovedeme říct, kolik stojí náš nákup, ale to je vše. Tyto základní schopnosti se však dramaticky rozšíří, pokud se naučíme rovnice: můžeme se dozvědět kolik věcí můžeme koupit, nebo kolik mají stát.

Řešení jedné konkrétní, tzv. Navier-Stokesovy rovnice je jeden z problémů milénia — matematických problémů, za jejichž vyřešení čeká řešitele odměna milion dolarů.

Diferenciální rovnice jsou však mnohem hlubší než běžné rovnice. Běžně nemají jen jedno řešení, jejich řešení často neznáme, nebo se jedná o nějakou velmi exotickou funkci. Často nalezneme novou funkci tím, že řešíme nějakou určitou rovnici. Dále také můžeme diferenciální rovnice rozšířit do více dimenzí, do podivných matematických prostorů, či opatřit různými jinými matematickými cinkrlátky (např. metrickým prostorem), ale o tom později. Zde je opravdu důležité nezoufat! Kdyby diferenciální rovnice byly jednoduché, nemělo by cenu je studovat, protože by nedokázaly popsat složité problémy.

Co je to diferenciální rovnice?

Normální rovnici, se kterou se setká každý základoškolák, můžeme vyjádřit populární dětskou hrou „Myslím si číslo...” Výsledkem této hry je vyřešení rovnice a obdržení čísla. Na druhou stranu diferenciální rovnice je úloha typu „Myslím si funkci...” Navíc se v její formulaci vyskytují derivace, takže výsledek je často nečekaný.

Zkuste se zamyslet nad tím, jestli dokážete nějakou jednoduchou (klidně i triviální) diferenciální rovnici vymyslet a vyřešit.

Jako jednoduchý příklad uvedeme např. následující diferenciální rovnici: „Myslím si funkci proměnné $x$ . Když provedu její derivaci, dostanu funkci $x$ . Jakou jsem si myslel funkci?” Když hledanou funkci označíme $f (x)$ , můžeme rovnici zapsat matematicky: $f^{'} (x) = x,$

Při řešení těchto úloh je nejlépe postupovat odzadu a provést opačné operace než zadavatel úlohy. Tentokrát byla provedena jen jedna operace, derivace, musíme tedy provést opačnou operaci, integraci. Integraci provedeme tak, že vezmeme integrál z $f^{'} (x)$ od pevného bodu $0$ do bodu $X$ , čímž dostaneme: $\begin{array}{r} \int_{0}^{X} f^{'} (x) d x = \int_{0}^{X} x d x = {[\frac{1}{2} X^{2}]}_{0}^{X} \\ f (X) = \frac{1}{2} X^{2} . \end{array}$

Tato nejednoznačnost není vlastní pouze diferenciálním rovnicím. Např. úloha „Myslím si číslo, když ho vynásobím sebou samým, dostanu 64, jaké to je číslo?” má řešení 8, ale i -8. Všechny diferenciální rovnice jsou takto nejednoznačné, což se může zdát otravné. Snad se později dozvíme, že je to ve skutečnosti užitečné.

Integrál $x$ jsme spočetli jednoduše, neboť primitivní funkci k $x$ známe, naleznete ji také v Derivačním dodatku. Uvádíme tedy jako výsledek funkci $f (x) = x^{2} / 2$ , vskutku její derivace je rovna $x$ . Tato funkce však není jediným řešením naší úlohy, např. funkce $g (x) = x^{2} / 2 + 1$ je taky po derivaci rovna $x$ . Vidíme, že přičtením libovolné konstanty k výsledku dostáváme další řešení. Je to způsobeno tím, že při integraci jsme mohli začít integrovat ne od nuly, ale od libovolného jiného bodu. To by mělo za následek, že výsledek by se lišil o konstantu. Správnější postup by tak byl integrovat ne od nuly, ale od nějakého bodu $C$ konstantního, který později určíme. Alternativně můžeme psát výsledek jako $f (X) = \frac{1}{2} X^{2} + C .$

Naše poznatky můžeme shrnout: pokud v diferenciální rovnici integrujeme nějakou funkci, musí to být v neurčitých mezích. Jako výsledek dostaneme jinou funkci nezávislé proměnné a k ní přičteme konstantu, abychom popsali onu neurčitost. Pro jednoduchost dokonce integrační meze vynecháváme a říkáme, že integrujeme neurčitě. Diferenciální rovnici výše tak můžeme přepsat pomocí nové notace: $\begin{aligned} f^{'} (x) & = x \\ \int f^{'} (x) d x & = \int x d x \\ f (x) & = \frac{1}{2} x^{2} + C . \end{aligned}$

Obecné zásady pro řešení diferenciálních rovnic

Náš příklad diferenciální rovnice se možná zdál přímočarý, nicméně nemůžeme v každé rovnici „postupovat odzadu”. S tím se setkáváme už u kvadratických rovnic — abychom se s nimi vypořádali, musíme znát vzorec pro jejich řešení. V případě diferenciálních rovnic je situace ještě o kus složitější, neboť většinou neexistuje vzorec na jejich řešení.

Jestliže derivace byla vymačkávání tuby z pasty a integrace inversní operace, tak řešení diferenciálních rovnic je stavění soch ze zubní pasty. Obě předchozí dovednosti se nám bez pochyby budou hodit, ale k efektivní práci je potřeba něco víc než jen řemeslná zručnost. K řešení těchto rovnic se užívají rozličné metody a některé diferenciální rovnice do dneška neumíme vyřešit. Na druhou stranu obtížnost řešení těchto rovnic je činí zajímavými, kdyby byly jednoduché, nemohli bychom je použít k vysvětlení složitých věcí, které v životě často potkáváme.

Jedním z hlavních úkolů Obnažené algebry je představit základní druhy diferenciálních rovnic a pochopit jejich řešení. Neméně těžký úkol je však diferenciální rovnici v daném problému najít a formulovat. Někdy se jedná o těžší úkol než ji vyřešit (k řešení koneckonců vždy můžeme využít stroje a kalkulačky). Na to se tedy také budeme soustředit.

Newtonovy zákony

Diferenciální rovnice je dobré předvést v praxi. Proto se podíváme na známý příklad Newtonových zákonů, které popisují pohyb hmotných těles. Jedná se o známé školní zákony, navíc popisují děje, se kterými se v každodenním životě setkáváme. Proto si na jejich příkladu můžete proceduru snadno představit.

Isaac Newton formuloval celkem tři zákony, které popisují obecnou metodu, jak pohyb hmotných bodů v přítomnosti sil řešit. Newton pomocí těchto zákonů sestavuje diferenciální rovnici a její řešení popisuje pohyb těles — kvůli velké důležitosti této rovnice a názornosti se teď na Newtonovy zákony zaměříme. První z nich zní následovně:

Tělesa setrvávají ve stavu klidu nebo rovnoměrného přímočarého pohybu, pokud na ně nepůsobí žádná síla, nebo výslednice na ně působících sil je nulová.

Tento zákon říká, že „prvotní” nebo základní stav věcí je buď klid, nebo rovnoměrný přímočarý pohyb. Klidu můžeme rozumět, dává smysl, proč by se jednalo o přirozený stav tělesa. Když si ale představíme např. rychle jedoucí auto, tomu jsme museli udělit nějakou energii, aby se rozjelo. Vskutku, u auta můžeme říci, že má nějakou vlastnost, která ho odděluje od stojícího tělesa: zmíňenou kinetickou energii, ale třeba i rychlost. Háček spočívá právě v této rychlosti: jak ji máme definovat?

Z pohledu řidiče totiž auto stojí a všichni okolo něj se pohybují velkou rychlostí. Kdyby řidič auta měřil svou rychlost, naměřil by nulu stejnětak jako kinetickou energii. Proto musíme nejdřív správně zadefinovat to, co znamená rychlost.

V Newtonově terminologii existují takzvané vztažné soustavy, tj. světy z něčího pohledu. Např. existuje vztažná soustava z pohledu středu Země, středu Slunce nebo některého člověka. První Newtonův zákon mezi řádky vlastně říká, že existuje nějaká inerciální vztažná soustava, tj. taková, která je v klidu. Existují ještě jiné inerciální soustavy, které se od původní liší jen tím, že se pohybují nějakou neměnnou rychlostí. Např. soustava auta a soustava silnice jsou vůči sobě inerciální. Pokud ale auto ze silnice startuje, tak není vzhledem k silnici inerciální, protože zrychluje.

Přirozené je tedy popisovat svět z pohledu inerciální vztažné soustavy a v ní se mohou nacházet buď tělesa v klidu, v rovnoměrném přímočarém pohybu, nebo zrychlující. Tělesa v rovnoměrném přímočarém pohybu jsou však z pohledu nějaké jiné inerciální soustavy v klidu — proto jsou taktéž v přirozeném stavu. Jsou to ona zrychlující tělesa, která nejsou v základním stavu. A jejím popisem se zaobírá druhý Newtonův zákon:

Síla, hybnost apod. jsou zde samozřejmě vektorové veličiny, to však pro jednoduchost neuvažujme.

Tělesům lze připsat hybnost $p$ rovnou součinu jejich hmotnosti a rychlosti: $p = m v$ . Síla $F$ působící na těleso způsobuje změnu jeho hybnosti (změnu rychlosti v čase). Zapsáno rovnicí: $\begin{aligned} F & = \frac{d p}{d t} = \frac{d (m v)}{d t} = \frac{d m}{d t} v + m \frac{d v}{d t} \\ F & = \frac{d m}{d t} v + m \frac{d v}{d t} . \end{aligned}$

Zde jsme použili pravidlo pro derivaci součinu. V případě, že se hmotnost námi pozorovaných těles nemění (to platí skoro vždy), píšeme $d m / d t = 0$ . Dále si změnu rychlosti v čase označíme jako zrychlení: $a \equiv d v / t$ . Můžeme nyní formulovat známější formu druhého Newtonova zákona:

Na obecnější verzi Newtonova zákona ještě dojde v příkladu o Ciolkovského raketové rovnici.

Způsobené zrychlení $a$ je přímo úměrné působící síle $F$ a nepřímo úměrné hmotnosti $m$ tělesa. Zapsáno rovnicí: $F = m \cdot a .$

Třetí Newtonův zákon souvisí se zákony zachování hybnosti a pro jednoduchost ho zde uvádět nebudeme.

Ilustrační příklad: volný pád

Je jednoduché předpovědět, jak se bude vyvíjet rovnoměrně přímočaře se pohybující těleso. Se zrychlujícími tělesy je to obtížnější a rovnice výše nám k tomu dodává klíč. Představíme si to na jednoduchém příkladu kamene o hmotnosti $m$ padajícího v tíhovém poli o tíhovém zrychlení $g$ . Gravitační síla je zde $F = m g$ . Dostáváme pak rovnici, které říkáme pohybová rovnice: $\begin{aligned} F & = m a \\ m g & = m a \\ g & = a . \end{aligned}$

Prosťoučká rovnice $g = a$ je však ve skutečnosti jednoduchá diferenciální rovnice v přestrojení. Platí totiž, že zrychlení je změna rychlosti v čase. Symbolicky: $a = \frac{d v}{d t} .$

Dále rychlost je změna polohy v čase. Dostáváme tak $a = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} .$

Dosadíme do rovnice: $g = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} .$

Rovnici dvakrát integrujeme: $\begin{array}{r} \int g d t = \int \frac{d^{2} x}{d t^{2}} d t \\ g T + C = \frac{d x}{d t} \\ \int (g T + C) d t = \int \frac{d x}{d t} d t \\ \frac{1}{2} g T^{2} + C T + K = x . \end{array}$

Když pro přehlednost označíme $T$ jako $t$ , integrační konstantu $C$ jako $v_{0}$ a konstantu $K$ jako $x_{0}$ a prohodíme strany rovnice, tak dostaneme: $x (t) = x_{0} + v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} g t^{2} .$

Dostali jsme tak ze základní školy známý vzoreček pro zrychlený pohyb v gravitačním poli. Integrační konstanty nám dále zaručily, že je platný pro širokou škálu situací podle toho, jakou počáteční rychlost či polohu padající kámen měl. Vidíme také, že jsme integrovali dvakrát, takže máme dvě integrační konstanty.

<< Předchozí kapitola >> Další kapitola