V minulých kapitolách jsme věnovali mnoho času představení exponenciálních funkcí. Zjistili jsme, že je spjatá s následující diferenciální rovnicí: $$ f'(x) = k\cdot f(x) \,,$$
která má řešení ve tvaru $$f(x) = C\cdot e^{kx} \,,$$
kde $C$ a $k$ jsou nějaké konstanty. Ve skutečnosti bychom funkci $e^x$ mohli definovat jako funkci řešící tento druh rovnice, tak moc je exponenciála a její rovnice spjata. Podíváme se, kde všude tato diferenciální rovnice vystupuje. Také se podíváme na jiný způsob sestavování diferenciálních rovnic pomocí diferenciálů a Leibnizovy notace.
Proč věnovat jednu obsáhlou kapitolu jedné diferenciální rovnici? Skutečně existuje nepřeberné množství možných diferenciálních rovnic, které mají mnoho řešení. Ukazuje se však, že v přírodě se vyskytují jen určité tvary diferenciálních rovnic. Objasnění tohoto tvrzení pomocí tvrdé matematiky vyžaduje znalost velmi pokročilé diferenciální geometrie. Lepší porozumění však dostaneme, pokud se podíváme na jednotlivé příklady diferenciálních rovnic a ohmatáme si je, což je cílem této kapitoly.
V autoškole chtějí po studentech, aby jezdili velmi bezpečně. Začínajícím motoristům často říkají, jak nebezpečné jsou zatáčky, za které není vidět. Častá poučka zní: „Do zatáčky jeď tak rychle, aby kdyby se ti rozbily brzdy, tak jsi k ní v každém okamžiku dojel za 2 sekundy.” Jak taková jízda ale skutečně vypadá? V autě tedy jedeme nějakou rychlostí $v(t)$, před námi do zatáčky se vždy nachází nějaká vzdálenost $s(t)$ (mění se v čase) a musí platit, že v každém okamžiku $v(t) \cdot T = s(t)$ pro $T=2\,\mathrm s$, což odpovídá tomu, že bychom rychlostí $v(t)$ za čas $T$ urazili přesně vzdálenost $s(t)$, která zbývá do zatáčky.
Stejně platí, že zrychlení je derivace rychlosti podle času.
Naštěstí známe jednu důležitou věc: rychlost je derivace vzdálenosti podle času. Proč? Průměrnou rychlost můžeme znát jako $v_p = s_c/t_c$, neboli průměrná vzdálenost uražená za celkový čas. Můžeme psát přesněji, že $v_p = (s_c(t_0 + t_c) - s_c (t_0)/t_c$, kde uražená vzdálenost je rozdíl vzdálenosti na konci děje a vzdálenosti na začátku děje. Moudří již vidí, že stačí provést limitní přechod $t_c \to 0$ a dostaneme, že rychlost je derivace polohy podle času. Jinými slovy, okamžitá rychlost je průměrná rychlost za infinitesimální čas.
Podle poznámek z předchozího odstavce můžeme tedy obecně psát $s'(t) = v(t)$. V našem konkrétním případě musíme však psát $s'(t) = -v(t)$, protože $s$ značí zbývající vzdálenost, která se zmenšuje, nikoliv uraženou vzdálenost, která by se zvětšovala. Platí, že když se zbývající vzdálenost zvětší (neboli $s'(t) >0$), tak to odpovídá záporné rychlosti. Objevený vztah dosadíme do předchozí rovnice, která udávala podmínku pro brždění: $$ s'(t) T = s(t) \Rightarrow s'(t) = s(t) \cdot \frac{-1}{T} \,. $$
Nyní nemusíme již říkat nic, protože jsme dostali známou diferenciální rovnici, která vede na exponenciální řešení. Vidíme, že $f(x)$ odpovídá $s(t)$ a $k$ odpovídá $-1/T$. Takže můžeme rovnou psát, že $$s(t) = C \cdot e^{-t/T}\,.$$
To znamená, že uražená vzdálenost v čase exponenciálně klesá. Řekněme ještě, že $s(0)$ je 100 metrů, abychom mohli vidět, jak funkce vypadá. Potom nutně $C=s(0)$ a funkci můžeme vynést do grafu níže.
Záporné časy znamenají, že předpokládáme, ža auto jelo stejně i před časem $t=0$ a díváme se, kde bylo před začátkem měření. Jelikož argument exponenciály je záporyný (máme $e^{-t}$, ale byli jsme zvyklí na $e^t$), tak funkce rapidně klesá místo rapidního stoupání. Exponenciální charakter je však zachován, rozmyslete si, že záměna $t$ za $-t$ pouze graf zrcadlově obrátila okolo osy $y$.
Výše jsme úlohu vyřešili pomocí Newtonovy notace. Další možnost je napsat rovnici v Leibnizově notaci: $$ \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} = -s(t) \frac{1}{T} \,. $$
Chtěli bychom tuto rovnici nějak integrovat, abychom se dostali od diferenciálů k normálním veličinám. Integraci však můžeme provést pouze tehdy, pokud se na každé straně rovnice nachází pouze výrazy závislé na veličině, kterou integrujeme. Rovnici tedy násobíme $\mathrm d t$ a dělíme $s(t)$, poté integrujeme: $$\begin{align*} \frac{1}{s(t)} \mathrm{d} s&= - \frac{1}{T} \mathrm{d} t\\ \int_{s_0}^{s} \frac{1}{s(t)} \mathrm{d} s&= \int_{t_0}^t - \frac{1}{T} \mathrm{d} t\,. \end{align*}$$
Integraci můžeme provést, pokud si vzpomeneme, že derivace $\log (x)$ je $1/x$. Integrál vlevo tak můžeme hravě vyčíslit: $$\begin{align*} \int_{s_0}^{s} \frac{1}{s(t)} \mathrm{d} s&= \int_{t_0}^t - \frac{1}{T} \mathrm{d} t\\ \left[ \log (s) \right]_{s_0}^s&= - \frac{1}{T} (t -t_0)\\ \log \left( \frac{s}{s_0}\right)& = - \frac{1}{T} (t -t_0)\\ s & = s_0 e^{- \frac{1}{T} (t -t_0)}\,. \end{align*}$$
Na posledním řádku jsme obě strany rovnice vložili do exponenciály. Vzhledem k tomu, že se jedná o inversní funkci k logaritmu, dostali jsme výsledek, který je stejný jako s Newtonovou notací (jen musíme uvažovat $t_0=0$).
Snad v každé školské úloze se hovoří o tom, že odpor vzduchu pro jednoduchost nezanedbáme. Jak ale vypadá děj, ve kterém se tento odpor nezanedbá? Zde se již neobejdeme bez Newtonova zákona sil. Tento zákon, který se učí každý školák již na základní škole, říká, že mezi silou působící na těleso, jeho hmotností a uděleným zrychlením je následující vztah: $$ F= m\cdot a \,.$$
Jinými slovy síly způsobují to, že tělesa mění rychlost, síly udělují zrychlení. Čím je těleso hmotnější, tím menší zrychlení je mu uděleno. Newtonův zákon lze ještě upravit do pro nás vhodnější podoby tak, že napíšeme $a = v'(t)$, tedy že zrychlení je první derivace rychlosti.
Pohyb s odporem vzduchu probíhá např. tak, že máme nějaké těleso, na které při pohybu působí odporová síla. Tato odporová síla je tím větší, čím je naše těleso rychlejší (protože tím rychleji naráží na vzduch a víc se brzdí). Jeden z možných tvarů odporové síly je např.: $$ F_o = - k\cdot v \,.$$
Znaménko mínus značí, že působí proti směru pohybu, dále je přímo úměrná rychlosti. Podívejme se tedy např. na maglev, který na počátku jede nějakou rychlostí a působí na něj pouze odporová síla. Pokud do Newtonova zákona dosadíme jedinou působící sílu $F=F_O$, tak dostaneme tuto diferenciální rovnici: $$\begin{align*} -k \cdot v &= m \cdot v'(t) \\ v'(t) &= - \frac{k}{m} \cdot v \,. \end{align*}$$
Řešení rovnice je nyní již jasné, protože se jedná o naší známou exponenciální diferenciální rovnici. Dostaneme tedy: $$ v(t) = v_0 \cdot e^{-k/m \cdot t} \,,$$
kde $v_0$ je rychlost na počátku. Rychlost tedy klesá podobně jako u grafu výše. Podle našeho modelu se dále nikdy nedostane do nuly. Pomocí diferenciálů bychom rovnici řešili podobně jakou minulou rovnici u bezpečné jízdy.
Každý ví, že dnešní vesmírné rakety obsahují mnoho paliva, palivo tvoří třeba i 80 % hmotnosti celé rakety. Toto palivo raketa pálí, čímž vytváří stále stejnou sílu, jež jí nadnáší. Z Newtonova druhého zákona víme, že těleso při stejné působící síle zrychluje tím více, čím je lehčí. Pálení paliva však za letu hmotnost rakety zmenšuje. Jaký je tedy průběh rychlosti rakety v čase? Napišme nejprve druhý Newtonův, ale v obecnější podobě: $$\begin{align*} F = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t} = m(t) \cdot v'(t) + m'(t) v(t) \,. \end{align*}$$
Pravou stranu rovnice je však třeba interpretovat s rozvahou. Máme tam dva členy které by oba měly znamenat změnu hmotnosti. První z nich, $m(t) v'(t)$, značí příbytek hybnosti rakety, která změní rychlost. Funkce $v'(t)$ se tedy týká rychlosti rakety a $m(t)$ její hmotnosti. Na druhu stranu druhý příspěvek naznačuje změnu hybnosti rakety v důsledku změny (u rakety úbytku) její hmotnosti. Proto $m'(t)$ je úbytek hmotnosti rakety neboli rychlost troušení paliva. Člen $v(t)$ zde ale nemůže být rychlost rakety, protože úbytek nastává v důsledku odhození paliva. Musí to proto být konstanta $v_e$, neboli rychlost, se kterou palivo odlétává od rakety.
Jako další předpoklád pro zjednodušení výpočtu si představme, že raketa již vystoupala do oběžné dráhy a je tedy mimo vliv gravitace. Platí tedy $F=0$. Dále se před námi otevíraíj dvě možnosti: řešit závislosti veličin v čase, či řešit závislost změny rychlosti rakety na vytroušené hmotnosti paliva. Nejprve se podívejme na tu první.
Pro časové řešení předpokládejme, že raketa se konstantně zbavuje pohonu, takže $m'(t) = M$, kde $M$ je konstanta. Dostaneme: $$\begin{align*} m(t) v'(t) &= - M v_e \\ (m_0-Mt) v'(t) &= - M v_e \\ v'(t) &= - \frac{Mv_e}{(m_0-Mt)} \\ \int v'(t) \,\mathrm{d} t &= -\int \frac{Mv_e}{(m_0-Mt)} \,\mathrm{d} t\,. \end{align*}$$
Integrál na pravé straně nám může být povědomý, setkali jsme se s ním v případě čtyř psů, kteří se honili do kruhu. Vyjde z něj logaritmus, neboť $$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} v_e \log (m_0 - Mt) = v_e\frac{\mathrm{d}\log (m_0 - Mt)}{\mathrm{d}m_0-Mt} \cdot \frac{\mathrm{d}(m_0 - Mt)}{\mathrm{d}t}= \frac{-M\cdot v_e}{m_0-Mt} \,. \end{align*}$$
Pomocí tohoto výsledku tedy lze pokračovat v naší rovnici: $$\begin{align*} \int v'(t) \,\mathrm{d} t &= -\int \frac{Mv_e}{(m_0-Mt)} \,\mathrm{d} t\,. \\ v(t) &= v_e \log (m_0 - Mt) +C \,. \end{align*}$$
Konstantu můžeme dosadit tak, aby rychlost rakety v čase $t=0$ byla nulová, tedy $C= -v_e \log(m_0)$: $$ v(t) = v_e \log \left( \frac{m_0 - Mt}{m_0}\right) \,.$$
Pro rychlostní řešení tedy předpokládejme, že hmotnost je funkcí rychlosti. Dostaneme tak následující rovnici: $$\begin{align*} m(v) v' + m' v_e &= 0 \\ m(v) v' &= -m' v_e \,. \end{align*}$$
Chceme ideálně sestavit diferenciální rovnici v proměnné $v$, nicméně vidíme zde dvě časové derivace. To se nehodí, chtěli bychom mít derivaci rychlostní. Proto můžeme použít identitu představenou ve druhé kapitole o podílu dvou derivací: $$\begin{align*} \frac{m(v)}{v_e} &= -\frac{m'}{v'} \\ \frac{m(v)}{v_e} &= -\frac{\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}t} }{\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}t}} \\ -\frac{m(v)}{v_e} &= \frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}v} \,. \end{align*}$$
Podařilo se nám odstranit časové derivace a dostat rychlostní. V rovnici již rozpoznáváme známou rovnici ze začátku kapitoly: $f'(x)= k\cdot f(x)$. Proto můžeme řešení známé exponenciální rovnice rovnou napsat: $$\begin{align*} m'(v) = \frac{m(v)}{v_e} \Rightarrow m(v) &= C\cdot e^{-v/v_e} \\ m(v) &= m_0 e^{-v/v_e} \,. \end{align*}$$
Konstantu $C$ jsme zvolili tak, aby na začátku děje měla raketa hmotnost $m_0$. Vidíme, že jsme dospěli k ekvivalentní rovnici jako v časovém případě.
Každý ví, že s tím, jak stoupáme, klesá i tlak vzduchu. Na Mt. Everestu se dokonce vaří voda při cca 70 stupních Celsia. Jak přesně ale toto klesání probíhá? K tomu potřebujeme hydrostatickou rovnici: $$\begin{align*} p = h\rho g \,. \end{align*}$$
Tato rovnice popisuje tlak $p$, který způsobuje sloupec tekutiny o hustotě $\rho$ a výšce $h$ při tíhovém zrychlení $g$. Nemůžeme ji přímočaře využít na vzduch, neboť hustota vzduchu klesá s okolním tlakem $p$ (čím víc je vzduch stlačenější, tím má menší hustotu). Hustotu vzduchu lze popsat pomocí tzv. stavové rovnice ideálního plynu. Ježto jsou atmosferické modely stejně většinou komplikovanější než náš odhad, uvažujme příklad vzduchu, který má všude stejnou teplotu. Potom má stavová rovnice pro vzduch následující tvar: $$ p \cdot V = nR T = k_1\,,$$
kde jsme členy na pravé straně označili jako konstantu $k_1$ (pravá strana je vskutku v našem případě pro neměnnou teplotu konstantní). Ze stavové rovnice dostaneme $p = k_1/V$. To znamená, že objem určité hmotnosti vzduchu se s tlakem zmenšuje. Víme dále, že hustota je nepřímo úměrná objemu vzduchu: $\rho = m /V$. Můžeme proto stručně psát $p = k \rho$, kde $k$ je nějaká jiná konstanta (mohli bychom ji určit, ale zabralo by to příliš mnoho času). Toto zjištění můžeme zkombinovat se znalostí hydrostatické rovnice. Můžeme si totiž atmosféru představit jako spoustu velmi tenkých vrstev vzduchu, přičemž každá vrstva má neměnnou hustotu. Dejme tedy tomu, že jsme zatím započítali do tlaku vzduchový sloupec o velikosti $h$ a chceme připočítat výše zmíněný malý sloupec o výšce $\mathrm d h$. Vše je nakresleno na obrázku níže.
Dostaneme následující rovnici: $$\begin{align*} p(h + \mathrm d h) \doteq p(h) + \mathrm d h \cdot p'(h) &= p(h) + \rho(p) g \mathrm d h \\ p'(h) &= \rho(p) g \\ p'(h) &= k_1 p g \,. \end{align*}$$
Tuto rovnici již známe, takže rovnou můžeme psát řešení: $$\begin{align*} p(h) &= p_0 \cdot e^{k_1g h} \,. \end{align*}$$
Vidíme, že tlak exponenciálně stoupá se zvětšujícím se $h$. To také znamená, že když např. vystoupíme na horu a scházíme dolů, tak tlak exponenciálně klesá.
Některé prvky periodické tabulky se v určité konfiguraci rozpadají na jiné prvky. Tento rozpad však neprobíhá najednou, nýbrž postupně a takzvaně stochasticky. To znamená, že v každý okamžik má každé jádro určitou šanci se rozpadnout. Operujeme s pojmem poločas rozpadu $T$, což je čas, za který každé jádro má šanci se rozpadnout 50 %. Např. prvek Thorium $^{234}\mathrm{Th}$ má poločas rozpadu $24{,}10$ dní.
Jelikož se v pozorované látce většinou vyskytuje velký počet atomů, platí s velkou přesností, že za poločas rozpadu se rozpadne polovina látky. Obvykle chceme zjistit, jaké množství radioaktivního prvku nám zbyde v jistém čase, k čemuž potřebujeme sestavit diferenciální rovnici. To ale není příliš těžké, neboť jsme psali, že za určitý čas se rozpadne určité procento všech částic. Proto je změna počtu částic $N$ (tedy derivace $N'(t)$ úměrná počtu částic). Toto můžeme zapsat následovně ($\lambda$, malá řecká lambda, je konstanta úměrnosti, kterou specifikujeme později): $$\begin{align*} N'(t) &= -\lambda N(t) \,. \end{align*}$$
V rovnici je mínus, neboť počet částic samozřejmě ubývá. Tuto rovnici můžeme rovnou vyřešit, neboť se jedná o ukázkovou exponenciální rovnici ze začátku kapitoly: $$\begin{align*} N(t) &= N_0 e^{-\lambda t} \,. \end{align*}$$
Označili jsme integrační konstantu $N_0$ jako počáteční počet částic. Můžeme dále určit, jaký je vztah mezi $\lambda$ a $T$. Stačí se podívat na naši rovnici a dosadit počet částic poloviční a $t=T$. $$\begin{align*} N(T) &= N_0/2 \\ N_0 e^{-\lambda T} &= N_0/2 \\ e^{-\lambda T} &= 1/2 \\ \lambda T &= -\log (1/2) \\ T &= \frac{\log (2)}{\lambda} \,. \end{align*}$$
Mínus z rovnice jsme použili na převrácení hodnoty uvnitř logaritmu podle pravidla $a \log (b) = \log (a^b)$ a $a=-1$. Dostali jsme tedy převodní vztah mezi $T$ a $\lambda$, takže známe průběh radioaktivního rozpadu — je exponenciální.
Pokud jste někdy byli v přístavu, viděli jste, že loďmistři uvazují lodě ke břehu pomocí provazu na speciální patník. Navíjení lana potkáme však v loďařské práci i jindy, např. když chceme vytáhnout (vrátit) kotvu z vody. Soustřeďme se však na patník na molu, neboť ten je jednodušší si představit. Otázka zní: jaká je třecí síla lana v závislosti úhlu namotání lana na patník?
Nejdříve si připomeneme, jak vlastně působí třecí síla. Představme si předmět na rovné ploše: třeba kniha na stole. Zavádíme koeficient tření mezi stolem a knihou $f$. Kniha dále působí na stůl normálovou silou $N$ (díky gravitaci) a můžeme ji tlačit dopředu silou $F$. V takovém případě působí třecí síla proti směru pohybu a má velikost $T = Nf$. Třecí síla je tedy úměrná normálové síle $N$, což si sami můžete zkusit doma — můžete na knihu tlačit shora rukou a čím víc tlačíte, tím větší odpor bude k pohybu.
V našem případě obtáčíme provaz okolo patníku. Třecí síla tady nebude jednoduchá jako v případě s knihou, neboť působí na zakřiveném povrchu. Musíme si tedy situaci rozebrat detailněji. Uvažujme, že na jedné straně patníku působí větší síla $F_1$ a na druhém konci menší síla $F_0$. V rovnovážné pozici těsně před sklouznutím lana z patníku působí ještě třecí síla $T_{\mathrm{max}}$. Určitě platí $F_1 = F_0 + T_{\mathrm{max}}$ (ve směru lana). Třecí síla však působí poněkud komplikovaně, neboť se postupně s natáčením lana zvětšuje. K lepšímu pochopení si nakresleme obrázek.
Na tomto nákresu je tenčí čárkovaná linie půlič úhlu $\mathrm{d} \varphi$. Šipky vycházející z konců úhlu jsou třecí síly o velikostech $T$ a $T+\mathrm{d} T$: přes úhel $\mathrm{d} \varphi$ k síle $T$ přidá ještě příspěvek $\mathrm{d} T$ způsobený třecí silou. Tlustší čárkovaná linie je kolmá na tenčí a se silami svírá úhel $\mathrm{d} \varphi/2$. Toto si můžete ověřit tak, že sílu $T$ otočíte o $90^\circ$. Na nákresu jsme úhel $\mathrm{d} \varphi$ nakreslili tak, aby šel vidět, ale ve skutečnosti si zvolme tento úhel velmi malý.
Dále se můžeme ptát, kde vzniká normálová síla: je to kvůli síle napětí $T$ a $T +\mathrm{d}T$. Tato síla totiž nepůsobí kolmo ke ploše, její část působí přímo jako normálová síla. Můžeme si nakreslit následující trojúhelník:
Podobný trojúhelník bychom mohli nakreslit pro $T+\mathrm{d} T$. Nákres je samozřejmě přemrštěný, protože $\mathrm{d} N$ by mělo být velmi malé, stejně jako $\mathrm{d} \varphi$. Zde nicméně můžeme vidět, že $$\begin{align*} \sin (\mathrm{d} \varphi/2) &= \frac{\mathrm{d}N/2}{T} \\ T\sin (\mathrm{d} \varphi) &= \mathrm{d}N \\ T &= \frac{\mathrm{d}N}{\sin (\mathrm{d} \varphi)} \,. \end{align*}$$
Ještě si vyjádřeme $N$, které neznáme, pomocí $T$, neboť tyto dvě veličiny jsou spjaté díky tření: $$ \mathrm{d} N = \mathrm{d} T /f \Rightarrow Tf = \frac{\mathrm{d}T}{\sin (\mathrm{d} \varphi)} \,. $$
Limitní přechod samozřejmě provedeme i na druhé straně rovince, ale tam zůstane pouze $Tf$.
Zde na pravé straně výsledné rovnice provedeme jistý limitní přechod. Děláme jej proto, že chceme dostat nějakou diferenciální rovnici, takže bychom chtěli dostat do rovnice nějakou derivaci. Limitní přechod proveďme takový, že $\mathrm{d} \varphi$ půjde do nuly, jak jsme naznačili na začátku, bude to vypadat takto: $$\begin{align*} &\lim_{\mathrm{d} \varphi \to 0} \frac{\mathrm{d}T}{\sin (\mathrm{d} \varphi)} = \lim_{\mathrm{d} \varphi \to 0} \frac{\mathrm{d}T}{\frac{\sin (\mathrm{d} \varphi)}{\mathrm{d}\varphi}\mathrm{d}\varphi} = \lim_{\mathrm{d} \varphi \to 0} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} \varphi} = \lim_{\mathrm{d} \varphi \to 0} \frac{(T + \mathrm{d}T) - T}{\mathrm{d} \varphi} \\ &= \lim_{\mathrm{d} \varphi \to 0} \frac{T(\varphi +\mathrm{d} \varphi) - T(\varphi)}{\mathrm{d} \varphi} = T'(\varphi) \,. \end{align*}$$
V tomto jsme využili, že $$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin (x) }{x} = 1 \,,$$
Což jsme zmínili v derivačním dodatku oživlé geometrie. Je tedy snad vidět, že limitním přechodem jsme se mohli dostat k derivaci. Stojí za to dodat, že toto vysvětlení derivace je možná příliš obsáhlé, standardnímu fyzikovi by stačilo vidět výraz $\mathrm{d} T/ \mathrm{d} \varphi$ a hned by bez přemýšlení usoudil, že se jedná o derivaci $T$. Takové přemýšlení však vychází z toho, že bereme $\mathrm{d} T$ jako diferenciály, což však není opodstatněné — zde jsme je brali jen jako čísla a diferenciály jsme formálně vůbec nepředstavili.
Dostali jsme se každopádně po dlouhých peripetiích konečně naši diferenciální rovnici: $$\begin{align*} T'(\varphi) &= T(\varphi) f \,. \end{align*}$$
Světe div se, jedná se o známou exponenciální rovnici, takže ji můžeme vyřešit než se řekne švec: $$\begin{align*} T_{\mathrm{max}}(\varphi) &= F_0 e^{f \varphi} \,. \end{align*}$$
Integrační konstantu jsme zvolili jak $F_0$, aby rovnice fungovala pro $\varphi = 0$. Rovnice nám říká, že maximální třecí síla, kterou omotáním vyvoláme je rovna menší síle $F_0$ násobené faktorem, který exponenciálně závisí na úhlu obmotání. Praktický důsledek je, že za každé otočení se úhel zvětší o $2\pi$, takže se třecí síla zvětší $e^{2\pi f}$-krát. Je-li $f=1/(2\pi)$ pro jednoduchost, tak se každým otočením zvětší $e$-krát. To znamená, že dvě otočení znamenají zhruba desetinásobné zvětšení třecí síly! Až příště tedy budete obmotávat provaz okolo patníku či stromu, ani ho nemusíte zavazovat, stačí ho obmotat dostkrát.
Chladnutí těles lze taktéž popsat pomocí diferenciálních rovnic. Představme si, že máme např. horký čaj o teplotě $T_0=80^{\circ}\,\mathrm C$, přičemž teplota okolí je pokojová $T_p = 20^{\circ}\,\mathrm C$. Z vlastní zkušenosti víme, že teplota čaje v čase klesá, až se dostane na teplotu okolí, zatímco teplota okolí se téměř nezmění. Jak rychle ale teplota klesá? Podle Fourierova zákona tepelné vodivosti platí, že tepelný tok je rozdílu teplot hrnku a teploty okolí (neboli čím větší rozdíl teplot, tím víc teče teplo). To můžeme zapsat takto ($\lambda$ je řecká malá lambda): $$\begin{align} q = \lambda \Delta T \,. \end{align}$$
Neboli tepelný tok je roven $\lambda$ krát rozdíl teplot hrnku a okolí. Zároveň za předpokladu konstantního tepelného toku platí, že $$\begin{align} \delta T = -q t \,, \end{align}$$
neboli, že změna teploty hrnku je rovna součinu $-q$ (teplo odtéká) a času $t$. Bohužel však $\Delta T$ závisí na $\delta T$. Můžeme to vyřešit tak, že zase napíšeme změnu tepla za malý čas, během kterého předpokládáme konstantní $\Delta T$: $$\begin{align} T(t+ \mathrm d t) \doteq T(t) + \mathrm d t \cdot T'(t) &= T(t) - q \mathrm d t \\ \mathrm d t \cdot T'(t) &= - \lambda \Delta T \mathrm d t \\ T'(t) &= - \lambda \Delta T \,. \end{align}$$
Zde jsme mohli vyjádřit změnu teploty také jako $-q\mathrm d t$, neboť za velmi malý čas $\mathrm d t$ předpokládáme, že se $\Delta T$ téměř nezmění, a tedy že $q$ zůstane konstantní (a čas $\mathrm d t$ lze volit libovolně malý).
Zbývá nám trochu nezvyklá diferenciální rovnice. Naštěstí ale víme, že derivace konstanty je rovna nule. Můžeme proto psát $T'(t) = (T(t)-T_p)'=\Delta T'(t)$. Proto máme tuto rovnici: $$\begin{align} \Delta T'(t) &= - \lambda \Delta T \,. \end{align}$$
Tuhle rovnici již známe a můžeme psát, že $$\begin{align} \Delta T &= T_0 e^{-\lambda t} \,, \end{align}$$
kde $T_0$ je integrační konstanta ve významu počáteční teploty. Vidíme tedy, že chladnutí také probíhá exponenciálně.
Hlavní princip finančnictví jsou investice. Do nějaké investice dáme nějaké peníze $p$ a za nějaký čas se nám peníze vrátí i s jistým bonusem za naši snahu. Většinou se nám peníze vratí procentuelně. To znamená, že máme nějakou úrokovou míru $k$, a dostaneme zpět peníze $kp$. Tzn. např. úroková míra $k=1{,}05$ znamená pět procent úrok. Můžeme pak peníze, které jsme vydělali, opět dát do té samé investice. Tomu se říká složené úročení.
Můžeme se podívat, jaké peníze budeme mít v čase. Nultý rok $p$, první rok $kp$, druhý rok $k^2p$ atp. Co ale za neceločíselný rok? K tomu budeme muset opět sestavit diferenciální rovnici. Můžeme říci podobný argument jako u radioaktivního rozpadu, tedy že změna počtu peněz by měla být v každém okamžiku úměrná současnému počtu peněz. Zapsáno matematicky pomocí konstanty úměrnosti $\lambda$: $$\begin{align*} p'(t) = \lambda p(t) \,. \end{align*}$$
Toto je již známý příběh, píšeme tak řešení: $$\begin{align*} p(t) = p_0 e^{\lambda t} \,. \end{align*}$$
Opět $p_0$ má význam počtu peněz, které máme na počátku děje. Dále také chceme znát vztah mezi $\lambda$ a $k$. Dosadíme za $t = T = 1 \,\mathrm{rok}$ a dostaneme: $$\begin{align*} p(T) &= kp_0 \\ p_0 e^{\lambda T} &= kp_0 \\ e^{\lambda T} &= k \\ T &= \frac{\log (k)}{\lambda} \,. \end{align*}$$
Dospěli jsme tedy k tomu, že složené úroky se chovají exponenciálně. Není tedy divu, že investoři, kteří je využívají, bohatnou rychle. Na druhou stranu, kdyby naše investice peníze brala, např. kvůli inflaci, měli bychom $k<1$, např. $k=0{,}98$ pro konvenční dvouprocentní inflaci. Dostali bychom poté klesající exponenciálu ($\lambda$ by byla záporná kvůli tomu, že $\log (k) < 0$).
I elektrické obvody se řídí diferenciálními rovnicemi. Když je pochopíme, pomůže nám to pochopit, jak běžné obvody v elektronickýc zařízeních fungují, či můžeme dokonce sestavit vlastní obvody. Než se však dostaneme ke komplikovanějším součástkám, osvěžme si nejprve základy elektrických obvodů.
V elektrickém obvodu teče elektrický proud asi jako v příkopě teče voda. Máme základní veličinu $Q$ zvanou elektrický náboj, se kterou se dále pracuje i ve fyzice — např. elektron má tzv. elementární náboj $-e$. Elektrický proud je pak tok nábojů. Zavádíme tedy veličinu $I$ jako velikost elektrického proudu a přirozeně je definovaná pomocí derivace náboje: $I\equiv \dot Q$. Dále také zavádíme napětí $U$, které měříme vždy mezi dvěma body obvodu a udává, jakou silou jsou náboje mezi těmito dvěma body hnány. Vposledku definujeme odpor $R$, který vyjadřuje, jaký odpor na nějaké cestě náboje mají. Pro většinu elektrických prvků platí Ohmův zákon, který dává do vztahu napětí na prvku, proud protékající prvkem a odpor tohoto prvku: $$\begin{align*} U &= I \cdot R\,. \end{align*}$$
Pro snadnější pochopení elektrického proudu můžeme učinit analogii s proudem vody. V ní si můžeme představit náboj jako objem vody, proud jako objemový průtok za sekundu, napětí jako výškový rozdíl mezi dvěma body (čím větší, tím lépe voda teče) a odpor je převrácená šířka kanálu (čím větší šířka, tím rychlejší průtok, tedy čím větší převrácená šířka, tím pomalejší průtok).
Jeden ukázkový obvod je na následujícím obrázku. Skládá se z baterky, která dodává napětí $U$, dále z jednoho rezistoru, díky kterému má obvod odpor $R$. O tomto obvodu víme, že napětí na rezistoru je dodávané baterkou, takže je rovné $U$. Můžeme tedy psát Ohmův zákon pro rezistor a zjistit tak proud: $U=IR\Rightarrow I = U/R$.
Kondenzátor je další elektrická součástka, která v sobě akumuluje náboj. Každý kondenzátor má svou kapacitu $C$ a platí vztah mezi nábojem na kondenzátoru, napětím a touto kapacitou: $$Q = CU\,.$$
Zaměřme se nyní na jednoduchý $RC$ obvod s kondenzátorem a rezistorem. Jeho schéma je na následujícím obrázku:
Předpokládejme, že kondenzátor je nabitý na počáteční náboj $Q_0$. Následně se náboj z něj bude vybíjet, musíme jen zjistit jak. Pro rezistor platí Ohmův zákon $U_{\mathrm r}=IR$ a pro kondenzátor $U_{\mathrm c}=Q/C$. Dále si můžeme rozepsat proud z definice jako $I=\dot Q $. Můžeme tak sestavit rovnici s napětími na obou prvcích. Tentokrát však napětí na rezistoru je mínus napětí na kondenzátoru. Je to proto, že $$\begin{align*} U_{\mathrm r} &= U_{\mathrm c}\\ -\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t} \cdot R &= Q/C\\ \dot Q &= -\frac{1}{CR}\, Q\,. \end{align*}$$
V rovnici se objevilo záporné znaménko proto, že úbytek $Q$ na kondenzátoru znamená příbytek $Q$ v obvodu (a na rezistoru). Z této rovnice můžeme vidět, že se kondenzátor vybijí následovně: $$\begin{align*} Q(t) &= Q_0 e^{-t/RC} \,. \end{align*}$$
Další možnou součástkou elektrického obvodu je cívka s induktancí $L$. Tato součástka vytváří magnetické pole, když přes ní protéká proud. Napětí na ní lze popsat následující rovnicí $$\begin{align*} U &= - L \dot I\,. \end{align*}$$
Podívejme se na proud v jednoduchém obvodu s rezistorem a cívkou jako na obrázku níže
Opět sestavíme rovnici, kdy se napětí na cívce rovná napětí na rezistoru: $$\begin{align*} IR &= - L \dot I\\ \dot I &= -\frac{R}{L} I\,. \end{align*}$$
Dostali jsme zase exponenciální rovnici, kterou briskně vyřešíme: $$\begin{align*} I(t) &= I_0 e^{-\frac{R}{L}\, t} \,. \end{align*}$$
Opět pozorujeme harmonické oscilace, tentokrát v elektrickém proudu.
O stránce
Články
Návody
Odkazy
O mně