Seznámili jsme se tedy s diferenciální rovnicí, která modeluje oscilující veličinu a vypadá následovně. $$ f''(x) = - \omega^2 f(x)$$
má řešení $$ f(x) = A \sin(\omega \, x + \varphi ) \,,$$
kde $\omega$ a $\varphi$ jsou nějaké konstanty. Děj popisovaný touto rovnicí jsme pojmenovali harmonické kmity. Podobně jako s exponenciální rovnicí můžeme pomocí harmonického oscilátoru definovat funkci sinus (a kosinus). Zde si ukážeme, kde takový harmonický oscilátor můžeme potkat. Bude se nyní jednat hlavně o ryze fyzikální, mechanické příklady. Je trochu škoda, že nezavítáme do jiných odvětví, ale představíme si princip, podle kterého lze harmonický oscilátor nalézt v téměř libovolném fyzikálním systému.
Prostá pružinka se závažím tvoří takový prototyp harmonického oscilátoru, proto se na ni podíváme nejdříve. Její nákres lze vidět na obrázku níže.
Působiště sil jsme pro přehlednost zakreslili mimo závaží o hmotnosti $m$. V levé části nákresu máme případ, kdy je pružinka a závaží v rovnováze — reakční síla pružiny $F_r$ přesně vyrovnává gravitační sílu $F_G$. Když ale závaží trochu vychýlíme, jak je tomu na obrázku vpravo, tak se zvětší síla pružiny $F_r$ o přídavek $F_p$ a dostaneme se již do nerovnováhy. Naším úkolem bude zjistit, jak se pružinka bude hýbat dál.
Ke zjištění dalšího pohybu musíme zjistit, jakou silou pružinka působí. Z empirických měření lze zjistit, že typické pružinky reagují na výchylku lineárně: tedy reakční síla pružinky je úměrná výchylce přes konstantu zvanou tuhost pružiny $k$. Matematicky to zapíšeme následovně: $$F_r = - k\cdot x\,,$$
kde $x$ je výchylka z rovnovážné polohy. Vzhledem k linearitě síly si můžeme představit, že první poloha s pružinkou je již výchozí poloha. To znamená, že síly $F_r$ a $F_G$ nebudeme uvažovat, neboť se vyruší, a dynamika bude způsobena jen přídavkem síly $F_p$. Můžeme tedy napsat Newtonův zákon síly, abychom zjistili pohybové rovnice závaží: $$\begin{align*} F = m \cdot a \Rightarrow F_p &= m \ddot x \\ m \ddot x &= - k x \\ \ddot x &= - \frac{k}{m} x\,. \end{align*}$$
Tuto rovnici můžeme vyřešit, neboť je to rovnice harmonického oscilátoru z úvodu kapitoly. Dostaneme tak: $$\begin{align*} x(t) &= x_0 \sin\left( \sqrt{\frac{k}{m}} \, t + \varphi_0 \right)\,. \end{align*}$$
Zde integrační konstanty mají význam počáteční výchylky v případě $x_0$ a $t_0$ tzv. počáteční fáze. Vidíme, že např. při $\varphi_0 =0$ a $t=0$ je $x(t)=0$. To znamená, že při této volbě $\varphi_0$ začínáme pozorovat, když je těleso v nulové výchylce. Obecně fáze nám říká, kdy děj začínáme pozorovat, všimněte si, že jakoukoliv fázi můžeme vynulovat, pokud jen necháme čas jít dostatečně dlouho — sinus je totiž periodický. Dále si všimněme, že veličina $\sqrt{k/m}$ určuje, jak rychle oscilujeme. Jedná se tedy v jistém smyslu o úhlovou frekvenci $\omega$. Očividně větší tuhost pružiny znamená rychlejší oscilaci (je větší reakční síla), stejně tak menší hmotnost $m$ znamená rychlejší oscilaci.
Zůstaňme na chvíli ještě u mechanických systémů a podívejme se na další často skloňovaný příklad harmonických oscilací: matematické kyvadlo. Nákres jsme opět připravili níže.
V prvním případě kyvadlo nehybně visí, tíhová síla je vyrovnána tažnou silou z lana — ani jsme takto jednoduchý rozklad sil nekreslili. Ve druhém případě jsme kyvadlo drobně vychýlili o úhel $\theta$ (malé řecké theta). Tíhová síla, která na kyvadlo působí, však míří rovně k zemi. Musíme si zase udělat rozklad sil, abychom mohli pochopit pohyb kyvadla.
V tomto rozkladu jsme gravitační sílu $F_G$ rozložili na dvě kolmé složky $F_1$ a $F_2$. Vidíme, že síla $F_1$ je vykompenzována lanem, zatímco druhá složka $F_2$ není — způsobuje pohyb kyvadla. Zároveň můžeme z geometrie situace usoudit, že $$\begin{align*} F_2 &= F_G \sin(\theta ) \,. \end{align*}$$
Nyní učiníme aproximaci matematického kyvadla. Pro malé úhlové výchylky tvrdíme, že můžeme psát $\sin (\theta )\approx \theta$. Tato aproximace je prověřena, že platí dost přesně v příkladu kyvadel, navíc již v minulých kapitolách jsme někdy $\sin(x)$ zaměnili za $x$. Kdybychom tuto aproximaci neučinili, jak se hodí např. v případě velkých výchylek, dostali bychom fyzikální kyvadlo, což je podstatně složitější model.
Můžeme tedy psát Newtonův zákon síly: $$\begin{align*} F_G \theta &= m\cdot a \\ m g \theta &= m\cdot a \\ g \theta &= \ddot x \,. \end{align*}$$
Zbývá vysvětlit význam $x$ — je to vzdálenost, kterou kyvadlo urazí po své trajektorii tam (kladné $x$) či zpět (záporné $x$). V případě malých výchylek je trajektorie skoro stejná jako rovnoběžná osa $x$. V rovnici ihned vidíme člen $\ddot x$, který nám slibuje diferenciální rovnici. Nemůžeme však ještě hned integrovat, neboť úhel $\theta$ závisí také na $x$ musíme si jej tedy vyjádřit jako $$ x = l\sin(\theta) \approx l\theta\,.$$
Toto dosadímedo naší rovnice a obdržíme: $$\begin{align*} \frac{g}{l} \, x &= \ddot x \,. \end{align*}$$
V tomto lze rozpoznat rovnici harmonického oscilátoru ze začátku kapitoly, takže můžem psát řešení: $$\begin{align*} x(t) &= x_0 \sin\left( \sqrt{\frac{g}{l}} \, t + \theta_0\right) \,. \end{align*}$$
Za první integrační konstantu jsme zvolili $x_0$ jakožto nejvyšší možnou výchylku: vskutku sinus má nejvyšší hodnotu jedna, takže $x_0$ je nejvyšší možná výchylka. Dále $\theta_0$ značí fázi, o které jsme mluvili už u pružinky.
Vraťme se zpět do říše elektrických obvodů. V kapitole č. 6 jsme vždy měli buď cívku, nebo kondenzátor v jednom obvodu a výsledkem byla diferenciálního rovnice prvního řádu. Tentokrát zkusíme do jednoho obvodu dát i cívku i kondenzátor a dostaneme takzvaný LC obvod. Jeho obrázek je níže.
Opět dosadíme od rovnosti napětí na obou součástkách. Následně vše upravíme tak, abychom dostali diferenciální rovnici v jedné proměnné: náboji. $$\begin{align*} -L\dot I &= Q/C \\ \ddot Q &= -Q/LC \,. \end{align*}$$
Toto je již standardní forma naší harmonické rovnice, kterou dokážeme řešit: $$\begin{align*} Q(t)&= Q_0 \sin\left(\sqrt{\frac{1}{LC}} \, t + \varphi_0 \right) \,. \end{align*}$$
Integrační konstanta $Q_0$ značí počáteční náboj v obvodu. Druhá integrační konstanta $\varphi_0$ je tradičně fáze, jejíž interpretaci jsme již zmiňovali. Všimněnme si, že úhlová frekvence obvodu je $\omega = 1/\sqrt{LC}$. Toto je známá rezonanční frekvence, která se v obvodech s kondenzátorem a cívkou vyskytuje často.
Ve krátkém představení pohybu těles a Newtonových zákonů podezřele chyběla jedna fyzikální veličina: energie. Každý koncept energie tak nějak zná a možná ho někdy použil k popisu příkladů, ale lze použít k popisu pohybu těles? Většinou se energie používá pro popis počátečního a konečného stavu, např. potenciální energie balvanu na kopci a kinetická energie balvanu po sjezdu z kopce. Lze tento popis nějak rozšířit na okamžitý pohyb?
Ano, narazili jsme zde na podobný problém jako rozdělení mezi okamžitou rychlostí a průměrnou: okamžitá rychlost je jen průměrná rychlost za velmi velmi malý čas. Ke spojení energie s kinematikou nám tedy pomůže derivace.
Vezměme tedy nějaké těleso s potenciální energií $V(x)$. Energii zde značíme symbolem $V$ (nikoliv $E$) podle Josepha-Louse Lagrange, který toto písmeno zvolil podle francouzského slova voltage (napětí). Oproti tomu kinetickou energii bychom značili $T$ podle francouzského travail (práce). Také píšeme $V(x)$, což znamená, že energie tělesa záleží jen na jeho poloze $x$ (zobecnění do $3D$ prostoru lze udělat, ale je příliš zdlouhavé). Jako příklad tělesa s potenciální energií $V(x)$ si můžete představit kámen v tíhovém poli Země s energií $V(x)=m g x$, kde $m$ je hmotnost tělesa a $g$ tíhové zrychlení.
Trik spočívá v tom si uvědomit, že potenciální energie je vyjadřena prací, která je rovna síle $F$ krát vzdálenost. Představme si tedy těleso v nějaké výchozí poloze $x$, kde na něj působí síla $F$. Když těleso pohneme o malou vzdálenost $\mathrm{d} x$, změní se mu potenciální energie o přírůstek $$\mathrm{d} V(x) = - F \mathrm{d} x \,.$$
Mínus je zde proto, že když se těleso pohne ve směru síly (např. trochu spadne), tak se mu energie sníží. Naopak se musí pohybovat proti směru, aby se mu energie zvýšila. Pak nás jistě nepřekvapí, že platí vztah $$F(x) = \frac{\mathrm{d} V(x)}{\mathrm d x} \,.$$
Jak můžeme tuto rovnici interpretovat? Jednoduše: tělesa se hýbou do stavu s co nejmenší potenciální energií. Nechť má potenciál v nějakém bodě $x$ kladnou derivaci. To znamená, že když zvýšíme $x$, tak se zvětší potenciál. Naše rovnice nám ale říká, že síla bude působit opačným směrem: těleso se bude snažit vždycky minimalisovat svou potenciální energii. V případě kamene se to stane pádem.
Známe-li tedy rozložení potenciálu, můžeme vypočítat sílu pomocí jeho derivace. V příkladu s kamenem dostaneme jednoduše $F(x)=-mg$ (působí dolů), což je známý výraz pro tíhovou sílu. Samozřejmě, pokud bychom tíhové pole Země uvažovali nehomogenní, či např. uvažovali přitažlivost Měsíce, pak by síla opravdu závisela na $x$ a byla by složitější.
Jak toto souvisí s harmonickým oscilátorem? Klíč leží v potenciálu. Představme si, že v nějakém bodě $x=x_0$ má potenciál lokální maximum. Jak bychom spočítali hodnotu v bodě $V(x_0 + \Delta x)$? V Oživlé geometrii jsme podobně počítali odmocniny: stačí využít derivaci: $$V(x_0 + \Delta x) \doteq V(x_0) + \Delta x V'(x_0) \,.$$
Ale počkat, derivace je přeci nulová, protože se nacházíme v maximu! Vypadá to tedy, že se potenciál nemění. To ale ve skutečnosti není pravda, potřebujeme nějaký lepší odhad. Ukazuje se, že dobrý odhad nám může dát metoda Taylorova rozvoje: $$V(x_0 + \Delta x) \doteq V(x_0) + \frac{1}{2} (\Delta x)^2 V''(x_0) \,.$$
Zde si všimněme, že $V''(x_0)$, druhá derivace funkce $V(x)$ v bodě $x_0$, je jen nějaké číslo. Potenciál tedy vyjádříme jako nějakou parabolu — ukazuje se, že tečnou parabolu. Před tím jsme používali tečnou přímku, pro zpřesnění máme parabolu. V obecném případě Taylorův rozvoj nabídne tečný polynom. Grafické znázornění lze vidět na následujícím obrázku — v blízkém okolí bodu $x_0$ uvažujeme $V(x)$ jako znázorněnou parabolu.
Dále bez újmy na obecnosti můžeme říci, že $V(x_0)=0$, protože nezáleží na tom, kde je počátek potenciální energie. Spočítejme sílu plynoucí z našeho odhadu potenciálu: jaká je jeho derivace? \begin{align*} V'(x_0+\Delta x) &=\frac{\mathrm d}{\mathrm d (x_0+\Delta x)} \left(\frac{1}{2} (\Delta x)^2 V''(x_0) \right) =\frac{\mathrm d \Delta x}{\mathrm d (x_0+\Delta x)}\frac{\mathrm d}{\mathrm d \Delta x} \left(\frac{1}{2} (\Delta x)^2 V''(x_0) \right) \,. \end{align*}
Využili jsme zde řetězové pravidlo pro derivace. Nyní musíme zodpovědět otázku, jaká je změna $\Delta x$ s podle $x_0 + \Delta x$. K tomu stačí chytře přičíst a odečíst $x_0$: \begin{align*} \frac{\mathrm d \Delta x}{\mathrm d (x_0+\Delta x)} &= \frac{\mathrm d (x_0 + \Delta x) }{\mathrm d (x_0+\Delta x)} + \frac{\mathrm d (-x_0) }{\mathrm d (x_0+\Delta x)}= 1 + 0 = 1 \,. \end{align*}
Výsledek můžete pochopit tak, že změna podle $x_0 + \Delta x$ je stejná jako změna podle $\Delta x$, protože $x_0$ je konstanta a nemění se. Můžeme tedy pokračovat ve výpočtu derivace potenciálu: $$V'(x_0+\Delta x) =\frac{\mathrm d}{\mathrm d \Delta x} \left(\frac{1}{2} (\Delta x)^2 V''(x_0) \right) = V''(x_0) \frac{1}{2} 2 \Delta x = \Delta x V''(x_0)\,.$$
Když můžeme vyjádřit sílu, pojďme rovnou sestavit Newtonův zákon $F = m \Delta \ddot x$! Ten vypadá následovně $$m \Delta \ddot x = -\Delta x V''(x_0) \Rightarrow \Delta \ddot x = - \frac{V''(x_0)}{m}\cdot\Delta x \,.$$
Určitě v tomto rozeznáváte rovnici harmonického oscilátoru ze začátku kapitoly. Jen zde tentokrát hledáme funkci $\Delta x(t)$, neboli výchylku $\Delta x$ od původní polohy $x_0$, jak se vyvijí v čase. Nejlepší na celé věci je, že potenciální energie je obecný koncept, který lze vytvořit pro téměř každou situaci. Dostali jsme tak způsob, jak vyjádřit každý mechanický problém okolo rovnováhy jako harmonický oscilátor.
Jedná se o kývání mostu, prohnutí stolu, zavírání dveří, houpání lodi na vodě a mnoho dalších analogických problémů. Pochopení tohoto principu nám však otevře nové chápání stávajících nemechanických problémů jako např. elektrický obvod. Navíc, na konceptu harmonického oscilátoru lze vybudovat složitější konstrukce. Např. jednoduchý model látky složené z atomů uvažuje, že atomy se chovají jako harmonické oscilátory, což je pořád velmi přesné. Mezimolekulární síly se často uvažují jako harmonické. V kvantové mechanice nalezneme hluboké rozšíření harmonického oscilátoru. Jedná se zkrátka o pomůcku, kterou každý fyzik využije kdy to jen jde.
O stránce
Články
Návody
Odkazy
O mně