Proč matematika?

Série článků k disposici v pdf!

Představte si, že k vám přijde malé dítě povídajíc, že mu ve škole moc nejde vlastivěda, že jí za žádnou cenu nemůže rozumět, a že nejspíš resignuje. Na takové vyznání by snad každý odpověděl, že to přece tak není, že se vlastivědu jistojistě naučí, vytrvá-li ve své píli, ba že tato snaha nakonec přinese své ovoce, a že ho to začne bavit. Žijeme přeci ve vzdělané společnosti, kde škola má být hrou a každý má na vzdělání šanci. Co kdyby však ono plačtivé dítě nepřišlo se stížností na vlastivědu, nýbrž na matematiku? V takovéto situaci se již stalo běžným odpovědět ve stylu „No jo, mně také matematika nešla, z toho si nic nedělej,“ nebo „Neměj strach, někdo na matiku prostě nemá buňky, nějak prolezeš.“
Stalo se prostě již běžnou zvyklostí, že matematika, předmět nenáviděníhodný, někomu připadl do vínku a jinému zas ne.

Já však nevěřím v takovou osudovost matematiky, myslím si, že – podobně jako „Na krásném modrém Dunaji“ od Johanna Strausse nebo obraz „Hvězdná noc“ – v sobě matematika skrývá jakousi universální krásu. Odhalení této krásy však vyžaduje správné rozpoložení mysli a vhodný vhled. Proto mi přijde škoda, že v našich školách se učitelé soustředí spíše na praktickou, procedurální část matematiky, která o tom pravém nevypovídá.

Přijde mi tedy škoda, že mrazivá elegence matematiky, která překračuje svět, jaký ho známe, ale přesto ji naše chápání poutá k lidskému vývoji a činí lidskou, zůstává neodhalena. Proto jsem se rozhodl psát o své nejoblíbenější části matematiky – diferenciálním počtu či matematické analýze či kalkulu (anglicky calculus, v němčině Infinitesimalrechnung). Chci toto téma zpřístupnit jiným lidem a tím přinést pochopení matematiky, která stojí za většinou dnešních technologií.

Snad vůbec nevíte, o co se jedná, když se řekne diferenciální počet. V úvodním článku tento pojem vysvětlím a zároveň popíšu, pro které oblasti lidského života se hodí. Můžete si tedy na něm zkusit, zda je tato série článků pro vás. K porozumění článků však stačí znalost matematiky na úrovni konci 2. stupně základní školy.

Já a matematika

Jsem student fysiky na MFF UK, takže mám přirozeně na matematiku poněkud zkreslený náhled. Netvrdím, že se musí líbit každému, nebo že by se bez ní nedalo žít, chápu, když pro někoho jsou v životě zajímavější věci. Na druhou stranu si myslím, že pokud člověk má alespoň trochu o matematiku stojí, pak by neměl váhat a lenivět. Ano, matematika vyžaduje úsilí, aby ji člověk vstřebal. Jedná se přeci jen trochu o umění, pochopit matematickou notaci, a náhled na svět. A žádné umění není zadarmo, ať již ve smyslu umění jako schopnosti či v tom druhém.

Existuje spousta populárních médií, na kterých se můžete dozvědět o matematice a o jejich zajímavých aplikacích ve fysice, např. youtubové kanály nebo TED přednášky. Poskytne vám jejich sledování však skutečně to, co chcete (tedy vědomosti [o matematice])? Z mého pohledu ne. Pasivním sledováním popularisačních přednášek se můžete sice dozvědět cool fakta a mít pocit, že jste in the loop, co se týče matematického poznání, ale nikdy si matematiku opravdu nezkusíte, nikdy neproniknete do toho opravdu zajímavého. Budu se snažit, aby můj návod obsahoval to, co já považuji za zábavné a vypovídající. Totiž řešení problémů a stavění myšlenkových konstrukcí. A snad se v sérii článků doopravdy něco dozvíte.

0. Úvod a provokativní čísla

Svůj článek o diferenciálním počtu jsem rozčlenil do několika kapitol. V každé z nich se diskutuje o jednom uzavřeném problému více či méně z reálného života, za to však vždy neobvyklého. Pro řešení tohoto problému potřebujeme vybudovat nové matematické nástroje, což tvoří hlavní smysl kapitoly. Celá série pak směřuje k poetické fundamentální větě diferenciálního počtu, která na předchozí články posvítí novým světlem a otevře spoustu nových perspektiv v problémech z fysiky. V celé sérii nepředpokládám žádné přílišné matematické znalosti, takže vysvětlení snad může pochopit každý. Matematická neznalost snad může být i výhodou, neboť člověk nové myšlenky může přijmout a nemusí se trápit s předchozími miskoncepcemi.
Na konci série pak jako dodatek nad rámec předpokládaných znalostí přikládám odvození derivací a integrálů některých funkcí (vysvětlím, o co jde) spolu s přehlednou tabulkou.

1. Pascalův trojúhelník a sumy prvních mocnin přirozených čísel

Pro pochopení abstraktních konceptů matematiky je někdy důležité abstraktnost propojit s důvěrně známými situacemi z každodenního života. Konkrétně často nejvíce pomůže si matematické myšlenky visualizovat, tedy je spojit s obrazovým vjemem. Jako příklad této myšlenky si nyní představíme Pascalův trojúhelník, který navíc bude sloužit k pozdějšímu výkladu. Později i díky němu odvodíme např. součet první stovky přirozených čísel nebo první desítky druhých mocnin přirozených čísel.

2. Pizza, rozhraní deště a růst kvadratické funkce

V minulé kapitole jsme se zabývali vznešenými matematickými myšlenkami a slavnými lidmi. Nyní se podíváme na poněkud praktičtější stránku matematiky.
Stalo se vám někdy, že na vás pršelo, ale když jste popošli, dostali jste se z deště ven? Nejspíše ne, ale bylo by kouzelné, kdyby se člověk mohl ocitnout na rozhraní deště. Proč se to moc často neděje? Vyplatí se si koupit v pizzerii větší pizzu? Na tyto otázky z běžného života se pokusím v této sekci odpovědět. Společné jim je, že se obě dotýkají kvadratické funkce. Snad o této funkci získáte intuici, a toho využiji, abych představil další ze stěžejních pojmů diferenciálního počtu – derivaci.

3. Archimédés a vykrývací metoda pro výpočet plochy pod parabolou

Diferenciální počet, k jehož vybudování v této sérii směřuji, má své počátky ve starověku. Jako jeden z prvních lidí, kteří svými myšlenkami zavadili o některé koncepty této disciplíny, byl Archimédés. Tento řecký ze Sicílie filosof, jehož bychom dnes považovali spíše za matematika a fyzika, se zabýval mnoha problémy. Například vymyslel vlastní číselnou soustavu pro počítání velkých čísel, konstruoval bitevní stroje, kterými potápěl nepřátelské lodě, formuloval zákon o vztlakové síle, ale nás bude zajímat spíše, že vypočítal obsah plochy pod segmentem paraboly.
Výpočet plochy pod nějakou křivkou je jedna ze základních úloh diferenciálního počtu. Později se tomuto tématu budeme věnovat obecněji a do větší hloubky, ukážeme si, jaké využití můžeme pro tuto úlohu najít. Zatím se však na tuto úlohu dívejme podobně jako Archimédés – čistě jako na zajímavý matematický problém, který má jiný charakter než výpočet plochy obyčejných geometrických útvarů jako $n$-úhelníky.

4. Odhady a kalkulačky

V minulých kapitolách jsme se zabývali starým věděním od Pascala či Archiméda. Nyní skočíme do novějších dob a přiblížíme si, jak fungují zařízení, bez kterých se žádný inženýr neobejde: kalkulačky. Lze si totiž představit, že kalkulačky hravě zvládají sčítání a násobení, ale co když chceme spočítat např. odmocniny či logaritmy? Na tuto otázku si alespoň částečně odpovíme a seznámíme se s klíčovým pojmem diferenciálního počtu: s derivací.

5. Odvozenina z odmocniny

V této sérii se snažím předat intuitivní porozumění diferenciálního počtu, takže záměrně nejsem úplně matematicky přesný. Přesto je v této části potřeba trochu více pedantství, zvláště co se týče pojmů limitního přechodu a derivace představených v minulé kapitole. Popovídejme si tedy o nich podrobněji a podložme je pevnější argumentací a logikou, abychom je skutečně mohli zužitkovat v odhadech odmocniny. Jistě se znalost těchto pojmů ukáže cenná i v další cestě.

6. Chystání půdy

Nacházíme se v posledním díle seriálové cesty za diferenciálním počtem. Je čas se ohlédnout za matematickými koncepty, které jsme na cestě potkali a setkat je dohromady. Konkrétně vyjevíme vztah, který panuje mezi nedávno představenou derivací a integrací, kterou jsem zhruba nastínil v kapitole o Archimédovi. Ukáže se, že tak rozdílné koncepty jako výpočet plochy pod křivkou a výpočet míry změny funkce spolu sdílejí velmi mnoho, jejich vztah se matematicky jmenuje fundamentální věta diferenciálního počtu. Jakmile bude tato věta osvětlena, prozáří také na povrch množství fysikálních aplikací derivace a integrace. Dveře plné nevídaných možností se otevřou a my jimi již bohužel nestihneme projít. Pro průchod však bude alespoň nachystána vhodná půda.

7. Derivační dodatek

Pro všechny, kteří se již trochu orientují v tom, jaký je význam derivace, integrace, a jak spolu souvisí, se v tomto dodatku budu věnovat praktičtějším věcem. Odvodím derivace několika základních funkcí a z těchto vyplynou některé integrály (neboť integrace je inversní operací k derivaci). Všechny výsledky pak shrnu do přehledné tabulky. Zároveň odvození můžete použít jako ověření, že vše správně chápete.

8. Odkazy