V této sérii se snažím předat intuitivní porozumění diferenciálního počtu, takže záměrně nejsem úplně matematicky přesný. Přesto nastal v této části čas na trochu více pedantství, zvláště co se týče pojmů limitního přechodu a derivace představených v minulé kapitole. Popovídejme si tedy o nich podrobněji a podložme je pevnější argumentací a logikou, abychom je skutečně mohli zužitkovat v odhadech odmocniny. Jistě se znalost těchto pojmů ukáže cenná i v další cestě.
Jeden proces limitního přechodu může v matematickém zápisu vypadat např. takto: $$ \lim_{h\to 0} 1 + h = 1 \,.$$
Říkáme, že limita pro $h$ jdoucí k nule z výrazu $1+h$ je rovna jedné. Zde zavedený pojem limita říká, že provádíme limitní přechod. To, že $h$ jde k nule, znamená, že pro libovolně malé číslo $\epsilon$ je $h$ menší než $\epsilon$. Mohl by být pronesen následující dialog:
Spočítáme si rychle pár limit pro větší porozumění. První příklad: $$ \lim_{h\to 0} (x-h)^2 = x^2 \,.$$
Zde jde $h$ k nule. První věc, která se při vyhodnocování limit vždy zkusí, je položit $h$ rovno nule. Může se stát, že dostaneme rovnou výsledek jako tady. Druhý příklad: $$ \lim_{h\to 0} \frac{h^2}{h} =\,?$$
Můžeme zkusit nejprve dosadit $h=0$. Pak ale dělíme nulou a to přeci nejde! Naštěstí můžeme zlomek zjednodušit a dostaneme: $$ \lim_{h\to 0} \frac{h^2}{h} = \lim_{h\to 0} h = 0 \,.$$
Nyní se ukázala výhoda limitních přechodů: umožňují nám pracovat s výrazy, které by normálně nebyly „legální“. Zkrátka $h$ má všechny výhody nuly (výraz je jednodušší) a nemá nevýhody (že nulou nelze dělit). Třetí příklad: $$ \lim_{h\to 0} \frac{1}{|h|} = \infty \,.$$
S nekonečnem jsou často problémy, protože nekonečno není číslo, ale proces. Vždy když někde spatříte, že se něco rovná nekonečnu, je lepší místo toho říci, že něco roste nade všechny meze, neboť to lépe vyjadřuje skutečnost.
Zde vidíme, že $|h|$ je nějaké velmi malé kladné číslo. Čím menší je, tím větší je pak výsledná limita. Jak tedy $|h|$ jde do nuly, tak výraz v limitě roste nade všechny meze a proto píšeme, že „se rovná nekonečnu“.
Ne vždy však limita existuje. Např. $\lim_{h\to 0} 1/h$ neexistuje, protože nejsme schopni se rozhodnout, jestli by to mělo být $+\infty$ nebo $-\infty$. Záleží, z které strany by se $h$ blížilo k nule.
To je vše, co se týče limitních příkladů. Jednalo se o zkrácený rychlokurz, ve kterém šlo o to pouze pochopit jejich princip. Více o limitách až tehdy, kdy je budeme opravdu potřebovat.
Dobrý způsob jak si definici derivace zapamatovat je podle zjednodušeného tvaru $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, neboli změna $y$ za změnu $x$.
Derivace, pomocí které jsme aproximovali funkci v některých bodech, má ve skutečnosti následující definici (znak rovná se se třemi čárkami znamená „definujeme”): $$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} \equiv \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \,.$$
Isaac Newton rozvinul svou teorii diferenciálního počtu v Anglii v 17. století. V podobné době publikoval německý Leibniz svou teorii diferenciálního počtu, která se zabývala tím stejným, jen užívala jiného značení. Newton svou teorii měl v šuplíku, ale poté co uviděl, že Leibniz publikoval o podobné věci, tak ji spěchal vydat též. Následovala divoká debata o tom, kdo vlastně kalkulus vymyslel jako první, která v některých kruzích neustává dodnes.
Snad poznáme tvar $\Delta y / \Delta x$ skrývající se za obtížnou definicí. Říkáme: „derivace funkce $f$ podle $x$ je rovna limitě pro $h$ jdoucí k nule z výrazu...“ V minulé kapitole jsme značili derivaci funkce jako $f'$, značení použité na levé straně rovnosti vymyslel původně německý matematik Gottfried Leibniz a používá se taktéž často. Je přehlednější v tom, že říká, podle které proměnné derivujeme (to bude hrát roli později).
Leibnizovo značení má smysl v tom, že $\mathrm{d} x$ odpovídá $\Delta x$ a $\mathrm{d} f(x)$ odpovídá $\Delta y$. Jestliže $\Delta x$ bylo malé posunutí $x$, tak podle Leibnize je $\mathrm{d} x$ velmi velmi malé posunutí $x$. Dokonce až nekonečně malé.
Krom limity před zlomkem je tato definice prakticky stejná jako z minulé kapitoly, jen máme $h$ místo delty. Dobrým způsobem na zapamatování si derivace je pamatovat si, že derivace je zhruba $\Delta y/\Delta x$, změna funkční hodnoty ku změně $x$. Viz obrázek.
Konečně jsme již připraveni na odmocninu. Zkusme třeba vypočítat, kolik je zhruba $\sqrt{65}$. Odpíchneme se zase od bodu $x_0 = 64$ pro funkci $f(x)=\sqrt{x}$. Potřebujeme si tedy spočítat derivaci této funkce, tedy použijme definici: $$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \,.$$
A hned narážíme na problém, protože když rovnou dosadíme $h=0$, tak dělíme nulou a to nelze. Proto musíme přijít na to, jak zlomek upravit, aby již ve jmenovateli nebylo $h$. Zkuste se chvíli zamyslet nad tím, co by mohlo pomoci a třeba na to s tužkou a papírem přijdete.
Nápověda: chceme se zbavit $h$ pod odmocninou.
Nápověda č.2: využijme vzorce $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
Řešení: $$\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} &= \lim_{h\to 0} \frac{\left(\sqrt{x+h} - \sqrt{x}\right) \left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x}\right)}{h\left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x}\right)} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{h}{h\left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x}\right)} \\ \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \,. \end{align*}$$
Zjistili jsme tedy, že $f'(x)=1/(2\sqrt{x})$. Nyní odhad: $$f(65) \approx f(64) + f'(64)\cdot 1 = 8 + 1/(2\cdot 8) = 8+1/16 = 8,0625 \,.$$
Skutečná hodnota je při tom cca $8,0623$.
Než se dostaneme ke konci této kapitoly, ještě se podívejme na derivaci důležité třídy funkcí $f(x)=x^n$ pro nějaké $n$. Dosaďme tedy do definice derivace: $$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}= \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} \,.$$
Musíme očividně upravit výraz $(x+h)^n$. Naštěstí máme kapitolu o Pascalově trojúhelníku, ze které můžeme psát: $$(x+h)^n = x^n + n\cdot h\cdot x^{n-1} + h^2 \cdot(\dots ) \,.$$
Zde jsem napsal tečky místo nějakého konečného kladného výrazu, který nás již nemusí zajímat. Proč? To se dozvíme, pokračujeme-li v definici derivace: $$\begin{align*} \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}&= \lim_{h\to 0} \frac{x^n + n\cdot h\cdot x^{n-1} + h^2 \cdot(\dots ) - x^n}{h} \\ \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}&= \lim_{h\to 0} n\cdot x^{n-1} + h \cdot(\dots ) \\ \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}&= nx^{n-1} \,. \end{align*}$$
Tento vzorec platí pro všechna celá $n$, nicméně také platí i pro všechna jiná $n$ (reálná, komplexní...). Pro obecnější případy dokazujeme tvrzení obdobně, nicméně důkaz nebudu provádět, protože by zabral poněkud více času.
O stránce
Články
Návody
Odkazy
O mně