Nacházíme se v posledním díle seriálové cesty za diferenciálním počtem. Je čas se ohlédnout za matematickými koncepty, které jsme na cestě potkali a setkat je dohromady. Konkrétně vyjevíme vztah, který panuje mezi nedávno představenou derivací a integrací, kterou jsem zhruba nastínil v kapitole o Archimédovi. Ukáže se, že tak rozdílné koncepty jako výpočet plochy pod křivkou a výpočet míry změny funkce spolu sdílejí velmi mnoho, jejich vztah se matematicky jmenuje fundamentální věta diferenciálního počtu. Jakmile bude tato věta osvětlena, prozáří také na povrch množství fysikálních aplikací derivace a integrace. Dveře plné nevídaných možností se otevřou a my jimi již bohužel nestihneme projít. Pro průchod však bude alespoň nachystána vhodná půda.
Když píši příkladnou, myslím to ve smyslu spořádanou. Ne všechny funkce totiž mají derivace ve všech bodech. Např. nespojité funkce (takové, které kreslíte několika tahy, mezi kterými sundáte tužku z papíru), nemají derivace v bodech, kdy nenavazují (bodech nespojitosti).
V minulé kapitole jsme se dozvěděli, že derivace funkce v bodě je sklon tečny k této funkci v daném bodě. Společně se vzorečkem lze derivaci vidět na obrázku níže, kde derivujeme příkladnou funkci.
Drobný terminologický problém: rozlišujeme mezi derivací funkce v bodě a derivací funkce. Derivace funkce v bodě je číslo odpovídající sklonu tečny funkce v daném bodě (jako na obrázku). Tuto derivaci však pro funkci $f(x)$ můžeme většinou provést pro všechna $x$. Říkáme proto, že derivace funkce $f'(x)$ je funkce, která vzniká tak, že $f'(x_0)$ je derivace funkce $f(x)$ v bodě $x_0$. Z tohoto pohledu je derivace operace, která z funkce vytvoří jinou funkci.
Někdy používáme tzv. druhou derivaci. Jedná se o derivaci derivace funkce a značí se $\newcommand{\ap}{'}f\ap{}\ap(x) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} f(x)$.
V některé literatuře se setkáte s pojmem určitého a neurčitého integrálu. My takovéto rozdělení činit nebudeme, neboť jej považuji za zbytečné.
V kapitole s Archimédem jsme počítali plochu pod parabolou. Tento výpočet jsme tedy prováděli čistě jako matematickou kuriositu, nicméně se ukazuje, že výpočet plochy pod křivkou se vyskytuje v mnoha matematických a fysikálních problémech. Proto se zavádí matematcká operace integrace. Říkáme, že integrál z funkce $f(x)$ od $a$ do $b$ je roven obsahu plochy pod křivkou pro $x$ v intervalu od $a$ do $b$. Píšeme při tom $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d} x= S$. Vše je znázorněno na obrázku níže, kde přirozeně plochu pod osou $x$ uvažujeme jako zápornou.
Pojem integrace pochází z latinského slova „integer”, které znamená úplný (in (ne) + tangere (dotýkat), tedy nedotknutelný). Integrace tedy znamená něco jako „zcelistvit”, obnovit. Ne nadarmo tedy někteří politici mluví o integraci jako o začlenění nějaké skupiny do širší společnosti. Znak $\int$ není $I$, ale protáhlé $S$. Ve skutečnosti bylo dříve běžné takto psát malé $s$, např. ve švabachu, ale v německých novinách nebo na domech byste takové $s$ mohli najít i dnes. Malé $s$ znamená sumu, neboť integrace je součet obdélníků, které tvoří plochu pod křivkou.
Čelíme podobnému terminologickému problému jako s derivací. Integrál od $a$ do $b$ je plocha pod křivkou funkce $f(x)$ od $a$ do $b$. Předpokládejme však nyní, že $a=0$ a $b$ je proměnná $x$. Pak zavádíme integraci, což je matematická operace, která funkci $f(x)$ přiřadí jinou funkci $F(x)$, která je rovna integrálu funkce $f(x)$ od $0$ do $x$.
Podívejme se podrobněji na symbol integrace. Vraťme se ale nejprve zpátky k Archimédovi a výpočtu plochy pod nějakou funkcí od $0$ do $1$. Napišme pro přehlednost místo $\int$ sumu, jakou jsme tehdy zaváděli: $$S\approx \sum_{i=0}^n f(i/n) 1/n \,.$$
Tento výraz znamená, že sčítáme obsahy obdélníků s hranami $1/n$ a $f(i/n)$. Pokud bude $n$ dostatečně velké, tak přejdeme k integrálu: $$S= \int_0^1 f(x)\, \mathrm{d} x \,.$$
V tomto integrálu máme obdélníčky s velmi velmi malou hranou $\mathrm{d} x$ a druhou hranou $f(x)$. Probíháme přitom $x$ od nuly do $1$ po krocích $\mathrm{d} x$.
V souvislosti s integrací zavádíme dále pojem primitivní funkce. Říkáme, že $F(x)$ je primitivní funkce k funkci $f(x)$, pokud platí $$F'(x)=f(x)\,.$$
Máme-li např. funkci $f(x)=3x^2$, tak její primitivní funkce je $F(x)=x^3$. Existuje ale ještě druhá primitivní funkce $F_2(x)=x^3 +1$ a podobně nekonečno různých primitivních funkcí, kde pokaždé přičteme jinou konstantu k původní. Primitivní funkce tedy není určena jednoznačně, a obecnou primitivní funkci píšeme jako $$F(x) + C\,,$$
kde se pro číslo $C$ ustálil název integrační konstanta.
Derivace a integrace jsou tedy obecné operace na funkcích, jejichž výsledkem je také funkce, podle tabulky.
Symbolem $x'$ nemyslíme ve flowchart diagramu derivaci $x$, nýbrž novou proměnnou „x s čarou”. Proměnná, podle které integrujeme, se totiž ve výsledném vzorci neobjeví, proto je vskutku $F$ funkce $x$. Více o tom později.
Samozřejmě z tabulky plyne, že funkce vzniklá integrací $f(x)$ je plocha pod křivkou $f(x)$ od $0$ do $x$. Jen $x$ je proměnná, a proto považujeme $F(x)$ za funkci. Vyskytuje se tu však ještě jeden dosud neodhalený vztah, totiž $$F'(x) = f(x)\,.$$
Jiní autoři zavádějí operaci integrace trochu jinak, a tak nelze tvrdit, že integrace je inversní operací k derivaci. To jsou nicméně příliš technické detaily.
Fundamentální věta popisuje to, že funkce $F(x)$ získaná integrací $f(x)$ je zároveň primitivní funkce $f(x)$. Jinými slovy, derivace je inversní operace k integraci — pokud funkci integrujeme a hned poté derivujeme, dostaneme opět tu samou funkci. Pouze to říká fundamentální věta diferenciálního počtu, pojďme si ji vysvětlit pomocí nákresu.
Předpokládejme tedy, že máme nějakou funkci $f(x)$ a známe její primitivní funkci $F(x)$. Podívejme se na to, jaký je obsah pod křivkou od nuly do bodu $x_0$ a od nuly do bodu $x_0+h$.
Rád bych (znovu) zdůraznil, že v tomto textu nenaleznete matematické důkazy v pravém slova smyslu, na to není dost rigorosní. Vyřčená tvrzení nejsou dost přesná a nepostihují všechny možné příklady. Jedná se jen o ilustraci hlavních myšlenek.
Na obrázku je vybarvená plocha $F(x_0)$ a větší šrafovaná plocha $F(x_0+h)$. Nyní se podívejme na menší šrafovanou plochu. Tu lze vyjádřit za prvé jako $F(x_0+h)-F(x_0)$. Za druhé ji lze ale vyjádřit zhruba jako $f(x_0)\cdot h$ (či $f(x_0+h)\cdot h$). Rovnicí zapsáno: $$F(x_0+h)-F(x_0) \approx f(x_0)\cdot h\,.$$
Čím menší zvolíme $h$, tím přesněji bud naše rovnost platit. Obdélník $f(x_0)\cdot h$ bude stále přesněji kopírovat tvar „výklenku” (menší šrafované plochy). Taky můžeme říci, že pro zadanou povolenou odchylku obdélníku od přesného tvaru výklenku můžeme zvolit tak malé $h$, aby skutečná chyba byla menší než požadovaná odchylka. Tj. pokud bychom chtěli, aby chyba byla menší než procento, můžeme zvolit dostatečně malé $h$. Desetina procenta? Taky. Tisícina procenta? Taky. Miliontina? Asi už víte, kam se tímto směřuje: k limitnímu přechodu. Rovnici výše tedy vydělíme $h$ a dodáme tam limitu. Tím se zbavíme nepřesnosti a lze tam dodat pravé „=”. $$f(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}\,.$$
Počkat počkat, to je ale definice derivace! Ověřili jsme tedy fundamentální větu diferenciálního počtu pro bod $x_0$, že $F'(x_0)=f(x)$. Jelikož na volbě $x_0$ nezáleží, platí pro všechna $x$ a tedy je naše práce dokončena.
Fíha, máme za sebou všechnu tvrdou matematickou práci, snad to tolik nebolelo. Nyní, jak naše nové poznatky využít k něčemu užitečnému? Začneme tím, pro co pravděpodobně Newton kalkulus vymyslel: pohybem těles. Nikoho nepřekvapí, že rychlost tělesa je změna jeho polohy v čase, známe $v=s/t$. Toto ale platí pro průměrnou rychlost. Jak naložit s okamžitou? Jednoduše, jak jsem již jednou psal v úvodní kapitole, stačí vzít průměrnou za nekonečně malý čas. Tento nekonečně malý čas lze vyjádřit limitou: $$v=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}\,.$$
Definici stačí jen rozepsat a vidíme, že rychlost je jen derivace polohy podle času. Pokud tedy např. zaznamenáváme svou polohu na GPS během dne, tak lze její derivací určit, jak rychle jsme se pohybovali — toho využívají dnešní chytrá zařízení. Podobně můžeme využít fundamentální větu diferenciálního počtu: uražená poloha je integrál z rychlosti ($s=\int_0^t v\,\mathrm{d} t$). Tedy pokud se v autě neustále díváme na tachometr a zaznamenáváme rychlost, která se třeba prudce mění, tak lze jen pomocí této rychlosti určit, jakou jsme urazili vzdálenost, bez toho, abychom z auta vyhlédli ven!
Ale není to pouze rychlost, derivace se týká čehokoliv, co se mění v čase. Elektrický proud? Změna náboje za čas, tedy derivace $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} Q$. Vodní průtok? Změna objemu v čase, tedy $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} V$. Růst cenných papírů na burze? I to lze pomocí derivace analysovat. Aplikací najdeme nespočetně.
Pomocí derivace se navíc dá vyšetřit ještě jedna pozoruhodná věc: maxima a minima funkce. Zkuste se podívat na příkladnou funkci z této kapitoly, na které jsem ukazoval definici derivace. Její maximum (nejvyšší bod) je takový kopeček. Představte si tečnu v takovém bodě: je rovnoběžná s osou $x$. To znamená, že její derivace je rovna nule. Platí to ale i opačně: pokud je derivace funkce v nějakém bodě rovna nule, pak se v tomto bodě nachází maximum (nebo minimum). Může se sice jednat o tzv. lokální maximum, což znamená, že funkce po chvíli vyroste ještě do většího kopečku, ale stejně se vyplatí takový bod znát.
Derivace nám tedy umožňuje hledat extrémní body funkcí bez toho, abychom je museli pracně kreslit. Stačí vytvořit derivaci funkce a tu položit rovnou nule, vzniklou rovnici řešit. Např. pro funkci $f(x)=x^2$ máme $f'(x)=2x$ a $f'(x)=0$ pouze pro $x=0$. Vidíme tak, že funkce má minimum v $x=0$ a nikde jinde, což odpovídá realitě (stačí si představit parabolu).
Hledání minima se využije ještě v jiné oblasti: v hledání stability mechanického systému (např. mostu). Je totiž všeobecně známé, že fysikální systémy se snaží dostat do stavu s co nejnižší energií. Jakmile v něm jsou, tak se dostaly do stabilního stavu (většinou). Stavbyvedoucí mostu se tedy může ptát: pro jakou velikost nosníku je most nejstabilnější? Spočítá si potenciální energii mostu (energii, kterou má most vůči gravitačnímu poli Země, obyčejně pro hmotný bod $E=mgh$), tu zderivuje podle délky nosníku, a nalezne jeho nejstabilnější délku. Podobně se také může derivace použít pro hledání stability pružin nebo soustavy dvou atomů. To zní sice složitěji, ale princip je stejný: stačí umět derivovat.
Co znamená, je-li derivace funkce v nějakém bodě kladná? Tečna funkce v tomto bodě směřuje nahoru. To znamená, že sklon funkce je nahoru. Jinými slovy, funkce v tomto bodě stoupá. Tedy, je-li derivace funkce kladná, funkce je rostoucí (stoupá), je-li záporná, je klesající (klesá). Toto si můžete pomocí tužky a papíru ověřit např. na funkci na prvním obrázku. Samozřejmě, pokud je derivace nulová, funkce ani neroste ani nestoupá. Dostáváme se do extrémní situace popsané v odstavci výše. Netřeba připomínat, jak je tato vlastnost derivace užitečná — můžeme pomocí ní zjišťovat informace o jiných funkcích, vyšetřovat je.
Extrémní bod znamená buď maximální nebo minimální. To, jestli jsme nalezli minimum nebo maximum lze ověřit pomocí druhých derivací (derivací derivace funkce).
Integrály se dají samotné využít k tomu, aby se vypočetli objemy těles. Přemýšleli jste někdy, proč objem koule je právě $4/3 \pi r^3$? Stačí vhodně určit souřadnice a integrací lze dospět k výsledku. Drobnou modifikací postupu lze také spočítat těžiště těles, což se opět dá využít ve statice.
V této sérii článků jsme si sice ukázali princip derivace, nicméně počítali jsme ji velice zdlouhavě, pomocí limit. Jak lze derivace počítat v praxi?
Podle starého přísloví je derivace jako vymačkávání pasty z tuby. Na začátku to jde lehce, ale někdy nastanou problémy s tím ji vymačkat celou. A integrace? No, to je holt inversní operace...
Počtářům jsou k disposici tabulky známých derivací a integrálů. Pomocí nich tak lze mnohdy požadovaný problém hned najít vyřešený (správný fysik či matematik by ale nikdy nepoužil tabulku, jejíž výsledky si alespoň kdysi dávno neodvodil). Krom toho ještě existují pokročilejší pravidla na počítání: např. integrace per partes, pravidla pro derivace součinu a podílu a tak dále. Při tom vypočítat derivaci nějakého výrazu bývá zpravidla relativně jednoduché. Integrály bývají však velmi zapeklité, některé ani nelze vyřešit.
Nebudeme si nic nalhávat, výpočty derivací lze v dnešní době
provést pomocí softwaru. Např. na stránce
www.woframalpha.com stačí zadat např
differentiate x^3*2+3x
a robot briskně odpoví, že to se rovná $6x^2+3$. Takový příklad by
zkušený matematik či fysik zvládl vypočítat rychleji než stroj, nicméně
pro složitější příklady již wolfram jasně vyhrává. Podobně lze počítat
integrály pomocí integrate, můžete si to sami zkusit.
Možná nejsložitější oblastí matematiky v oblasti diferenciálního počtu jsou diferenciální rovnice. Jedná se o problémy jako např: „Myslím si funkci. Její derivace je rovna $x^4$. Jakou si myslím funkci?”, jen zapsané matematickým jazykem jako rovnice. Jsme zvyklí, že z běžné rovnice je jako řešení jedno, maximálně dvě čísla. V tomto případě ale jako řešení chceme nekonečněkrát více: funkci. Zrovna uvedený příklad diferenciální rovnice lze vyřešit prostou integrací, ale obecně řešení diferenciálních rovnic zabere velmi mnoho času. Některé rovnice jako např. Navier Stokesova, která popisuje pohyb kapalin, zůstávají nevyřešeny po stovky let i přes usilovnou práci matematiků.
Diferenciální rovnice přitom hrají velmi důležitou roli ve fysice: tvoří přírodní zákony. Např. Newtonův zákon $F=m\cdot a$ (síla je rovna hmotnosti krát zrychlení) je vlastně diferenciální rovnice. Zrychlení je změna rychlosti za čas, takže derivace rychlosti za čas. Můžeme tedy psát: $$F=m \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} x \,.$$
Síla je tedy úměrná druhé derivaci rychlosti. Pokud máme např. odporovou sílu zmíněnou na začátku série, tak ta je úměrná rychlosti. Platí $F=K\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} x$. Celkově pak rovnice má tvar: $$K\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} x=m \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} x \,.$$
Řešení této rovnice je exponenciálně klesající funkce. Podobně bychom dostávali různé řešení pro různé síly. Na takovém principu tedy stojí většina fysikálních rovnic.
Diferenciální počet je velice rozsáhlé téma, pro které je obyčejně třeba budovat mnoho stran matematické teorie. Snažil jsem se teorii co nejvíce zestručnit, věřím však, že přesto si teorie zachovala prvky, které ji činí výjimečnou, a na srozumitelnosti jí to neubralo. Doufám také, že jste si cestu geometrickou krajinou diferenciálního počtu alespoň trochu na matematiku šáhli a nad nějakým konceptem se zamysleli. Snad až příště někdo řekne, že mu matematika nikdy nešla a nezajímá ho, budete mu moci alespoň kus matematické krásy ukázat.
O stránce
Články
Návody
Odkazy
O mně