2. Kvadratická funkce

V této kapitole se podíváme na dva příklady z každodenního života, které se pokaždé týkají kvadratické funkce. Díky nim se z touto funkcí seznámíme, což se v pozdějších kapitolách bude hodit.

Nazzenění picy

V běžných restauracích se prodávají pizzy o více velikostech. Např. v jedné nejmenované pizzérii stojí olivová pizza o průměru 32 cm 120 kč a větší pizza s průměrem 45 cm stojí již 195 kč. Rychlé počty říkají, že zvětšení poloměru o cca třetinu vyústilo ve zvětšení ceny cca polovinu. Je to ale spravedlivé nacenění?

Možná chete říci, že restaurace si účtuje příliš mnoho, ale to by bylo příliš horkokrevné odsouzení. Platíme přeci za obsah pizzy, ne za její poloměr. A předtím jsem uvedl růst jejího průměru, nikoliv obsahu. Pojďme tedy obsah spočítat. Každý ví, že obsah čtverce o straně $a$ je roven $S=a^2$. Podobně by obsah kruhu o poloměru $a$ měl být tím větší, čím větší je $a$, měl by dokonce být přímo úměrný $a^2$. Obsah kruhu je tak $S_k=K\cdot a^2$, kde $K$ je nějaká neznámá konstanta.

Z obrázku výše vidíme, že obsah kruhu o poloměru $a$ by měl být menší než obsah čtverce o hraně $2a$, tedy $S_v=4a^2$, ale větší než obsah čtverce o hraně $\sqrt{2}a$, tedy $S_m=2a^2$. Tedy $4>K>2$. Nebudu to již déle protahovat, možná jste se totiž již dovtípili, že $K$ je známé číslo $\pi \approx 3,141\,59$ (řecké písmeno pí). Přesnější hodnoty pí se dají zjistit měřením, nebo pokud místo vepsaných a opsaných čtverců použijeme pěti-, šesti- či víceúhelníky. Geometrickou metodou pomocí $n$-úhelníků použil k výpočtu desetinných číslic pí např. Archimédés.

V této krátké odbočce jsme tedy zjistili, že obsah kruhu (a tedy pizzy) je úměrný druhé mocnině poloměru (a tedy i průměru). Cena by zase měla být úměrná obsahu (čím větší obsah, tím větší cena), tedy by zase měla být úměrná druhé mocnině poloměru pizzy, tj. $\text{cena}=K\cdot r^2$, kde $K$ je zase nějaká konstanta a $r$ je poloměr. Pro první pizzu vychází $K_1 \approx 0,47\,\text{kč/cm}^2$ a pro druhou vychází $K_2\approx 0,39\,\text{kč/cm}^2$, zdá se tedy, že pizzérie zvýhodňuje velké pizzy, což je běžná obchodní strategie.

Efektivnější porovnání cen

Předchozí porovnání cen nám dalo nějakou informaci, ale výpočet byl trochu nepříjemný a nepřirozený. Navíc kdyby pizzérie prodávala více velikostí pizz, již by se v tom docela těžko orientovalo. Naštěstí matematikové vymysleli matematický objekt jménem funkce, který nám pomůže se ve světě pizzérií vyznat. Vysvětlíme si definici funkce na příkladu pizzy.

Povinná dávka matematických definic

Funkce běžně značíme $f(x)$ a čteme „f od x“ nebo „funkce f proměnné x”. V našem případě bychom mohli např. chtít zkonstruovat funkci ceny pizzy v závislosti na poloměru. Nazvěme ji zase $f$, ale budeme tentokrát psát $f(r)$, protože popisujeme funkci v závislosti na poloměru $r$. Taková funkce je striktně řečeno zobrazení mezi dvěma množinami. V našem případě máme množinu $R$, což je množina možných poloměrů pizz, a množinu $C$, což je množina možných cen pizz. Pak píšeme $f:R \to C$, což znamená, že funkce možným poloměrům přiřadí cenu, kolik by příslušná pizza stála.

Podle jakého klíče ale funkce přiřadí poloměrům ceny? Řekněme třeba, že pokud má pizza poloměr $r$, tak odpovídající cena bude $c=K_1\cdot r^2$ jako kdyby cenění první pizzy z příkladu výše platilo pro všechny pizzy. Pak píšeme $f: r \mapsto c$, tj. že funkce $f$ funguje tak, že konkrétnímu $r$ přiřadí konkrétní $c$ (všimněte si, že jsem použil jiný druh šipky, navíc $R$ je množina a $r$ je prvek množiny). Jiný způsob napsání toho samého je $f(r) = K_1\cdot r^2$ (tomu se říká předpis funkce). Ještě je také důležité, že funkce jednomu poloměru přiřadí právě jednu cenu.

Poloměr $r$, který můžeme funkci dát, se jmenuje proměnná, a číslo $f(r)$, které funkce k $r$ vrátí, se jmenuje funkční hodnota. Funkci ale nemusíme značit $f$ a poloměr nemusí být jediná proměnná. Běžné jsou třeba funkce $g(x)$, což je funkce $g$ proměnné $x$.

Nyní nastává trochu chyták, protože se můžete ptát, co znamená písmeno $r$ ve výrazu $f(r) = K_1\cdot r^2$. Někdy to může znamenat libovolné $r$ z množiny možných poloměrů $R$, někdy jindy to může znamenat jedno konkrétní, pevné $r$ z $R$. Proto i $f(r)$ může znamenat někdy funkci a někdy číslo, které dostaneme, když funkce přiřadí cenu poloměru $r$. Občas se jedno konkrétní $r$ značí jako $r_0$, ale není to pravidlem, člověk si musí dávat pozor, co je tím kdy myšleno (odhadujeme z kontextu).

Co to ale všechno znamená?

Svou užitečnost funkce ukáží, pokud je zakreslíme do grafu. Funkce jako zobrazení mezi dvěma množinami ukazují vztah, který mezi těmito množinami je, a v grafu jej často nejlépe vidíme. Podívejme se tedy na graf funkce $f(r)$, kterou jsme popsali výše.

Křivka v grafu ukazuje soubor bodů se souřadnicemi $[r,c]$, které odpovídají poloměru pizzy $r$ a ceně $c$. Taky tam je zvýrazněn přímo bod odpovídající první pizze a bod odpovídající druhé pizze. Rozmyslete si, že jelikož druhý bod leží pod křivkou, tak je druhá pizza poměrně levnější než první, pokud by ceny záležely jen na obsahu pizzy a první by se brala jako referenční bod. Když máme takovýto graf, tak navíc můžeme např. ozkoušet různá nacenění různých velikostí pizz, nebo sestrojit jednoduše menu, aby ceny byly fér.

Když se tedy řekne funkce, představte si nějaký graf s křivkou. Ona křivka je funkce, která popisuje, jak nějaký

Zamračeno

Funkce jsou tedy důležité, protože pomocí nich lze znázornit vztahy, které okolo sebe pozorujeme, a líp je tak můžeme analysovat. Běžně se např. sestrojuje funkce teploty během dne (tj. funkce $T(\tau)$, kde $T$ je teplota a $\tau$ je čas) a pozorujeme, která část dne je nejteplejší. Nebo např. monitorujeme cenu zboží v průběhu roku a zjišťujeme, kdy si jej lidi nejvíce kupují. Nebo taky kreslíme funkci rychlosti auta v závislosti na čase, abychom zjistili, kdy to s námi nejvíce trhne.

Funkce tedy můžeme používat jako čisté zobrazení vztahu dvou veličin. Ukážeme si však, jak tento vztah analyzovat detailněji, a to sice při odpovídání na otázku „Jak to, že se tak málo často stane, že jsem v dešti, ale povede se mi z něj vyjít?“ Mně osobně se snad ani jednou nestalo, že bych se ocitl na hraně deště, tj. že by na moji levou ruku pršelo, ale na pravou ne. Vždycky, když lije, tak se těším, že se mi třeba povede stát v suchu a dívat se na lidi, kteří moknou, ale zatím nic. Při tom by se to ale mělo někdy stát, tak proč?

Ptáme se tedy: „Když už prší, proč se téměř nikdy nestane, že bych byl na kraji deště?“ K odpovědi pomůže si nakreslit s vrchu obrázek města, nad kterým je dešťový mrak.

V poněkud schematickém obrázku jsem Prahu znázornil jako čtverec a mrak jako kouli (kruh). Předpokládejme tedy, že se nejdříve nacházíme v nějakém náhodném místě v Praze a najednou se nad městem objeví dešťový mrak, ze kterého začne pršet. Mohou nastat tři věci. Buď se nacházím mimo déšť, nebo v dešti, nebo na rozhraní deště. Pokud se nacházíme mimo déšť, tak to je jedno, protože se ptáme na případy, kdy prší (tedy si musíme všimnout, že prší, a to si nevšimneme, když jsme mimo déšť). Druhé dvě možnosti jsou zajímavější. Když spočítáme pravděpodobnost, že se nacházíme na rozhraní deště a v dešti, tak můžeme tyto dvě pravděpodobnosti vydělit a zjistit, kolikrát je pravděpodobnější jedno nebo druhé. To by nám mělo dát odpověď na otázku.

Jelikož nás nezajímají případy mimo déšť, tak nevadí, že jsem Prahu nakreslil jako čtverec. Mraky však typicky nemívají obrys kruhu. Učiňme však předpoklad, že ano, v dalších výpočtech by to nemělo vadit. Ježto je stejně pravděpodobné se nacházet na jakémkoliv místě v Praze, tak stačí pro poměr pravděpodobností spočítat poměr obsahů zón v dešti a na okraji. V tom nám právě pomůže kruhový tvar mraku — lehce se spočítá obsah. Dejme tomu, že náš mrak má tedy poloměr $r$. Pak obsah uvnitř mraku (šedivá zóna na obrázku) je roven $$ S_u = \pi r^2\,. $$

Oproti tomu, pokud se nacházíme na okraji deště, musíme se nacházet někde okolo vzdálenosti $r$ od středu mraku. Dejme tomu, že člověk dohlédne nejdále do délky $r_0=50\,\mathrm{m}$, pak se musíme nacházet nejdále $r_0$ od okraje. Obvod kruhu je dlouhý $o=2\pi\cdot r$. Můžeme si oblast okraje mraku představit jako poloměr, který natáhneme a okolo něj nakreslíme obdélník o hraně $2r_0$, tím dojdeme k odhadu velikost obsahu okraje deště.

Obsah okraje deště je tak roven $$S_o= 2\pi r\cdot r_0 \,.$$

Teď nastává otázka: který z obsahů je větší a o jak moc? Nakreslíme si oba do grafu.

Vidíme tedy, že pro mraky s poloměrem $100\,\mathrm{m}$ je stejný obsah rozhraní jako obsah vnitřku mraku. Ale když se mrak zvětšuje, tak se rozhraní v poměru ke vnitřku zmenšuje, kdybych v grafu zmenšil měřítko, již by bylo vidět, že obsah rozhraní se stane zanedbatelným. Můžeme si spočítat poměr rozhraní a vnitřku pro malý dešťový mrak s poloměrem jednoho kilometru. Dostaneme $$\frac{S_o}{S_u}(1\,\mathrm{km}) = \frac{1\,\mathrm{km}}{100\,\mathrm{m}} = 1/10 \,. $$

To je vcelku malá pravděpodobnost. Pro větší mraky, které spíše potkáváme, by byla ještě menší a skoro nulová (můžete si dokonce zkusit vynést graf funkce pravděpodobnosti $p(r)=r/(2\cdot r_0)$). V kombinaci s tím, že neprší tak často, tedy dostáváme vysvětlení, proč se nikdy nestane, že by člověk byl napůl v dešti. Je zkrátka menší šance, že se vyskytneme pod okrajem než pod jeho vnitřkem.

Kvadratická funkce

Funkci $f(r)=r^2$, kterou jsme potkali ve dvou příkladech výše, se říká kvadratická funkce podle toho, že nám říká, jaký obsah má čtverec o hraně $r$. Budeme ji studovat detailněji, nicméně mluvme raději o $f(x)=x^2$, protože tak je to v matematice běžnější.

Pro význam slova nemusíme chodit daleko, např. německy se čtverec řekne „das Quadrat”. Od slova kvadrát pochází i slovo kvadratura znamenající výpočet obsahu pomocí rozdělení na malinkaté čtverečky (pixely). Této metody se používá hojně v dnešní informatice a stojí na diferenciálním počtu. V minulosti ještě byl známý problém kvadratury kruhy neboli vytvoření čtverce o stejném obsahu jako kruh s poloměrem $1$ pomocí pravítka a kružítka. Tento problém ovšem nemá žádné řešení, možná proto se podle lidí pokoušejících se tuto záhadu vyřešit vžilo označení „blbec na kvadrát”.

Růst kvadratické funkce

V příkladu s mrakem a mnohdy jindy je důležité vědět, jak rychle funkce rostou. Podívejme se tedy na růst kvadratické funkce, napišme si několik jejích hodnot.

	
---------------------------------------------------------
x    | 0 | 1 | 2 | 3 | 4  | ... | 11  | 12  | 13  | 14
---------------------------------------------------------
f(x) | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | ... | 121 | 144 | 169 | 196
---------------------------------------------------------

	

Přijdete na to, jak např. pomocí hodnoty $f(13)$ přijít na hodnotu $f(14)$ za pomocí čísla $13$?

Pokud se na nějakou dobu zamyslíte, tak vás napadne, že $f(14)=f(13)+13+13+1$. Podobně to platí i pro všechny jiná přirozená čísla, zkuste si to. Proč tomu tak je? Zdůvodnění můžeme hledat v geometrii. Nakresleme si čtverec o hraně $5$ jednotek a pokusme se ho zvětšit o jednu jednotku.

Vidíme, že zvetšením o jednu řadu se obsah zvetšil o $2\cdot 5+1$. Podobně můžeme argumentovat pro všechna ostatní přirozená čísla. Platí tedy pro ně: $$f(x+1) = f(x)+2x+1\,.$$

Z této rovnosti můžeme něco vypozorovat o funkci $f(x)=x^2$. Pokud (trochu vágně) definujeme růst jako „to, o kolik se změní funkční hodnota, když změníme její argument“, tak uvidíme, že růst funkce $f(x)$ je jako $2x$, tedy čím je větší $x$, tím víc roste. Oproti tomu u lineární funkce $f(x)=k\cdot x$ platí $f(x+1)=k$, tedy tato funkce roste pořád stejně. Není tedy divu, že kvadratická funkce lineární přeroste. Poučení o mraku tedy dává následující, nový smysl: jeho obsah roste rychleji než jeho obvod, a tedy s větším obsahem je stále méně pravděpodobné, že se budeme nacházet u jeho obvodu.
Myšlenky o růstu funkce jsou pro vás pravděpodobně dost nové, a je třeba si na ně zvyknout. Přesto tvoří jádro toho, čím se budeme zabývat v příštích kapitolách, a toho, co považuji za zajímavé. Nestrachujte se tedy, pokud vše nebylo pochopeno, ještě se tomuto tématu budeme věnovat. Tehdy se však o něm budeme bavit formálněji a nazveme jej místo růstu derivace funkce.

<< Předchozí kapitola >> Další kapitola