Pro pochopení abstraktních konceptů matematiky je někdy důležité
abstraktnost propojit s důvěrně známými situacemi z každodenního
života. Konkrétně často nejvíce pomůže si matematické myšlenky visualizovat,
tedy je spojit s obrazovým vjemem. Jako příklad této myšlenky si nyní
představíme Pascalův trojúhelník, který navíc bude sloužit k pozdějšímu výkladu.
Později i díky němu odvodíme např. součet první stovky přirozených čísel
nebo první desítky druhých mocnin přirozených čísel.
Trojúhelník se jmenuje podle francouzského matematika Blaise Pascala ze 17. století, který
se věnoval např. kapalinám (ze školy možná znáte Pascalův zákon), ale jako
správný osvícenec jej zajímalo i mnoho jiných odvětví vědění
a veděcká metoda.
Zkuste si trojúhelník pro více řad sami nakreslit.
Pascalův trojúhelník není geometrický útvar (v pravém geometrickém
smyslu). Jedná se o čísla seřazená do tvaru připomínající trojúhelník,
možná jste jej někdy viděli nebo dokonce sami zkusili nakreslit, když
jste se nudili. Vypadá takto:
Pascalův trojúhelník má de facto nekonečně mnoho řádků. Konečný
trojúhelník můžeme matematicky nazvat trojúhelník stupně (kdy nultý
stupeň je pouze jednička – to není trojúhelník).
Možná jste si všimli, podle jakého pravidla člověk trojúhelník konstruuje.
Začíná se jedničkou, načež se pod každým číslem se vytvoří jedno místo
napravo i nalevo a prázdná místa se vyplní součtem horních čísel. Dvojka
ve třetím řádku je tedy např. součtem dvou jedniček atp.
Pro tento trojúhelník platí mnoho zvláštností. Tak např. je zřejmé, že
součet čísel v -tém řádku je roven (začíná se jedničkou
a následně všechna čísla z jednoho řádku se sečtou dvakrát
k číslům z řádku pod ním, tedy součet se zdvojnásobí). Méně
zřejmé je, že jednotlivé řádky čteny jako čísla jsou mocniny 11
(, , ...), nebo že součty diagonál
trojúhelníku tvoří Fibonacciho posloupnost.
Trojúhelník a polynomy
Podívejme se nyní do zdánlivě úplně jiného tématu, mocnin součtu .
První mocnina neskrývá žádné tajemství.
Druhou mocninu se mnozí učili nazpaměť ve škole, lze si ji však roznásobením hbitě ověřit.
S trochou píle, tužkou a papírem můžeme odvodit, jaký bude vzorec pro součet
dvou čísel na třetí:
Pravidlo, na které zde narážíme, se jmenuje binomická věta
(anglicky binomial theorem, německy Binomischer Lehrsatz). Byť jsme do tohoto
pravidla narazili, neomluvíme se mu a vydáme se dál. V naší
cestě čekají ještě zajímavější věci.
Všímáte si něčeho povědomého? Vskutku, koeficienty u jednotlivých členů
našeho výrazu jsou stejné jako některé řádky Pascalova trojúhelníku.
Zřejmě pro umocněné na nultou i na prvou dostáváme
koeficienty z nultého a prvního řádku, platí to i však pro
vyšší mocniny. Jakto? Nebudu přikládat rigorózní důkaz, neboť jsme
v naší cestě za diferenciálním počtem na úplném počátku. Jak
budeme postupovat dále a dále, budu se snažit být přesnější
a přesnější.
Všimněte si, jak se dostaneme z první mocniny na druhou. Celý výraz
se musí vynásobit . Nyní trošku představivosti: představte si, že
si tvoříme tabulku, do níž píšeme koeficienty členů s určitým počtem a ,
přičemž členy s více jsou nalevo.
Poté při násobení člen, který je vynásoben , se posune doleva a člen, který je vynásoben
je posunut doprava. V konečném důsledku tak dostaneme člen stejným způsobem jako tvoříme
Pascalův trojúhelník. Tabulku pro , ve které začínáme u výrazu vidíte níže.
Když si toto promyslíte a představíte, tak vám snad bude jasné, proč
koeficienty mocnin jsou koeficienty z Pascalova trojúhelníku.
Suma prvních přirozených čísel
Jedná se o vcelku nepodloženou historku, nicmně Gauss byl vskutku
jako dítě (a i v dospělosti) neobyčejně bystrý matematik.
Traduje se, že když mladý matematik Carl Friedrich Gauss ve třídě neposlouchal
učitele, dostal za úkol spočítat součet prvního sta přirozených čísel, tedy
. Mladý Gauss samozřejmě nechtěl tuto
nudnou operaci provádět, pročež se zamyslel a po chvíli prostě řekl, že je to
, což se ukázalo jako správné řešení. Nyní si ukážeme, jak lze
na výsledek vychytrale přijít. Předvedu dva způsoby, jeden trikový
(pravděpodobně použitý Gaussem) a následně druhý, který se bude
zdát ještě trikovější. Ten druhý způsob nicméně odemkne dveře pro
počítání složitějších řad později. Také vysvětlím význam symbolu .
Důležité: součet prvních přirozených čísel je velice pěkná úloha
a nechtěl bych vás připravit o radost z vlastního objevování. Proto
tuto úlohu zkuset vymyslet sami před tím, než se pustíte do dalšího čtení.
Může to zabrat 20 minut, možná den, nicméně si myslím, že to stojí za to.
Sumace
Původ v symbolu spočívá v tom, že sigma
representuje písmeno s, které znamená sumu. Suma je jiné slovo pro
součet/souhrn a latinsky se řekne summa .
Symbol je velké řecké písmeno sigma a říká se mu suma. Značí operaci,
které se říká sumace. Příklad sumace:
Znamená to, že sčítáme několik výrazů počínaje a konče . Výrazy získáme tak,
že do výrazu napaného v sumě postupně dosazujeme za od dolní hranice čísla stoupající
o až k horní hranici.
Gaussova metoda
Součet prvních čísel je takový nešikovný, neboť všechna čísla jsou jiná. Kdyby
bylo možné čísla nějak udělat stejnými, aby se dala násobit, bylo by to pěknější.
Což tedy zkusit vzít jejich průměr a ten vynásobit počtem sčítanců? To by fungovalo.
Jak nicméně vypočítat průměr? Možná jste si zkusili napsat speciální případ součtu.
Např. pro první tři čísla je průměr to prostřední – 2. Co když ale není žádné prostřední
při sudém počtu? Pak si můžete zkusit nakreslit čísla na číselnou osu – průměr leží
veprostřed mezi prvním a posledním číslem. Pro průměr řady o číslech tedy platí
. Tento průměr stačí vynásobit počtem sčítanců . Pro celkový součer tedy platí:
Druhý, možná Gaussovštější způsob, spočívá v tom si napsat dvě sumy pod sebe v opačném
pořadí. Pro případ :
Nyní je již jasné, jak spočítat součet :
Obecně tedy dostaneme stejný výsledek
Teleskopická metoda
Slovo teleskop pochází z řeckého tele (daleko) + skopos (pozorovatel).
Metoda se však nazývá podle skládacího teleskopu. Narazíme totiž na sumu, která
se zkrátí a složí podobně jako zmíněný přístroj.
V teleskopické metodě se začíná odvážně. Když totiž chceme vypočítat
vzorec pro součet prvních mocnin, začneme tím, že se budeme snažit spočítat vzorec
pro součet druhých mocnin čísel. Nicméně, abychom využili Pascalův trojúhelník,
nebudeme počítat , ale rovnou . Dostaneme tak:
Tento výraz označuje sumaci od do , kde je nějaké číslo, které specifikujeme
později.
Pro sumace platí pravidlo, že sumace součtu je součet sumací. Toto pravidlo vyplývá z toho,
jak funguje sčítání, můžeme sčítat členy v jakémkoliv pořadí chceme.
Takže pravou stranu přepíšeme:
Poslední člen vpravo je vlastně součet krát 1. To se rovná .
Člen můžeme od celé rovnice odečíst:
Suma na levé straně je tzv. teleskopická suma. Můžete si zkusit
rozepsat řadu jejích členů nebo se zamyslet a vyjde vám, že
se spoustu z nich vzájemně odečte, takže výsledek je zřejmě .
Zkuste si např. pro .
Pokud ještě využijeme, že z každého sčítance sumy vpravo můžeme vytknout
dvojku a uděláme pár úprav, dostaneme:
což je starý známý výsledek. Nenechte se zmást tím, že jsme v posledním řádku
prohodili obě strany rovnice, to se smí. Následně jsme také vytkli .
Můžete si ověřit, že pro prvních sto čísel je výsledek .
Sumy prvních mocnin přirozených čísel
Majíce po ruce teleskopickou metodu (byť se může zdát triková), můžeme
vypočítat více součtů, třeba
Uvedu již pouze postup, ve kterém se využívá minulého výsledku.
Doporučuji však, abyste nejdříve vyzkoušeli sami:
Pro konkrétní případ prvních deseti druhých mocnin dostáváme např.:
Spojení vzorců s diferenciálním počtem
Diferenciální počet je všechen o nekonečnech a o zanedbávání.
Zatím jsme v této kapitole však probírali pouze diskrétní
(nespojité) příklady a nekonečno se nikde neobjevilo.
To se tedy pokusím napravit.
Představte si, že bychom chtěli spočítat pro první
miliardu čísel. Podívejme se na vzorec:
Dejme tomu, že člen zanedbáme, pokud je o nějaký
počet řádů nižší než . Pak pro každý počet řádů
člen vždycky zanedbáme od nějakého čísla výše.
Ve jmenovateli máme . Když se však jedná o miliardu,
dostaneme . Deset na devátou je sice velké číslo,
nicméně je o devět řádů nižší než , což už je docela zanedbatelné.
Co kdybychom chtěli spočítat součet prvních čísel?
Pak už by se oba členy lišily řádově o , což je nepředstavitelný
rozdíl. Jak jistě víte, existuje nekonečně čísel, takže
bychom mohli chtít počítat součet ještě více čísel, a pak
by se druhý člen jevil stále menší a menší. Vlastně bychom
jej mohli zanedbat. Pak bychom pro velká čísla dostali:
Znak znamená „přibližně se rovná”. Zdá se sice, že se jedná
o matematicky nepřesný termín, pokud ale jde o budování intuice,
bude se hodit velice.
Můžeme udělat pobný odhad i pro vyšší . Je lehké
si domyslet, že s velkými čísly zůstane dominantní největší
mocnina , ostatní můžeme zanedbat. Dostaneme tak pro velká :
A co větší ? Musíme se podívat na to, jakým způsobem se
tvoří teleskopickou metodou. Pro zamezení zmatku ve značení
spočítejme součet prvních čísel umocněných na . Vždy dostaneme
výraz podobný tomuto:
Zde je druhý koeficient -té řady Pascalova trojúhelníka
a výrazy za tečkami jsou vždy ve formě , kde
je nějaké číslo a je menší než .
Předpoklad o tom, že součty jsou rovny
řádově nejvýše bychom správně měli dokázat matematickou
indukcí. Spolehneme se však na intuici a důvěřujme.
Nyní si levou stranu upravíme a zanebáme všechny členy, které
jsou menší než . Dále taky zanedbáme všechny členy, které byly
označeny třemi tečkami výše — jejich součet je totiž řádově nejvýše .
Z toho důvodu dostaneme:
Udělal jsem ještě jeden krok , který lze vidět v Pascalově trojúhelníku.
Máme tedy výraz pro sumu prvních přirozených čísel na pro velké
.
Později si ukážeme, jak tento poznatek využít k počítání
obsahu obrazců pod křivkou na způsob Archiméda.