Pro všechny, kteří se již trochu orientují v tom, jaký je význam
derivace, integrace, a jak spolu souvisí, se v tomto dodatku budu
věnovat praktičtějším věcem. Odvodím derivace několika základních
funkcí a z těchto vyplynou některé integrály (neboť integrace je
inversní operací k derivaci). Všechny výsledky pak shrnu do přehledné
tabulky. Zároveň odvození můžete použít jako ověření, že vše správně chápete.
Hodlám se věnovat i funkcím, které jsem nepokryl v předchozí sérii, nic
si z toho nedělejte, pokud je neznáte.
Lineární funkce $f(x)=x$ je snad ta nejzákladnější funkce, která někoho může napadnout, podobně základním způsobem můžeme spočítat její derivaci: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) = \lim_{h\to 0} \frac{ f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{ x+h-x}{h} = \lim_{h\to 0} 1 = 1\,.$$
Funkci $f(x)=x^2$ jsme již v sérii probrali i s její derivací. Pusťme se tedy do ní znovu: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) = \lim_{h\to 0} \frac{ f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{ (x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{ 2xh + h^2}{h} = \lim_{h\to 0} 2x + h = 2x\,.$$
Podívejme se teď na příklad fukce $f(x)=x^n$, kde $n$ je nějaké číslo. Pro $n=1$ a $n=2$ dostáváme předchozí dva příklady, předpokládáme tedy, že obdržíme odpovídající výsledek. Při odvození potkáme mocné aproximační pravidlo, které vychází z binomické věty, do které jsme narazili v kapitole o Pascalovi. Podívejme se na rozpis výrazu $(a+x)^3$: $$(a+x)^3 = a^3 + 3xa^2 + 3x^2a + x^3 = 1 + 3 x + x^2\cdot (3a + x)\,.$$
Kdyby místo trojky bylo nějaké jiné přirozené číslo $n$, měli bychom $$(a+x)^n = a^n + nxa + x^2 \cdot ( \dots )\,.$$
Proč můžeme učinit takové zobecnění pravidla pro reálné exponenty (mocnitele)? Zdůvodnění vychází z pokročilejšího studia diferenciálního počtu a tzv. Taylorových řad. Nebojte se, k důkazu kruhem nedochází, pouze důkaz neprovedeme, neboť nyní je příliš pokročilý.
Pro zjednodušení jsem napsal tři tečky místo nějakého složitějšího výrazu. Nu zbývá jen dodat, že onen vzorec by fungoval, i kdyby $n$ nebylo celé, ale jakékoliv reálné číslo $\alpha$, klidně $-\pi$. Může to znít divoce, ale je dobře, že si nemusíme pro obecné koeficienty pamatovat žádný speciální vzorec.
Nuže, můžeme se pustit do odvození našeho kýženého vztahu, derivace funkce $f(x)=x^\alpha$ pro $\alpha$ patřícího do reálných čísel. $$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) = \lim_{h\to 0} \frac{ f(x+h)-f(x)}{h} &= \lim_{h\to 0} \frac{ (x+h)^\alpha-x^\alpha}{h} \\&= \lim_{h\to 0} \frac{ x^\alpha + \alpha hx^{\alpha-1} + h^2 (\dots )-x^\alpha}{h} \\&=\lim_{h\to 0} \frac{ \alpha hx^{\alpha-1} + h^2 (\dots )}{h} =\lim_{h\to 0} \alpha x^{\alpha-1} + h (\dots ) \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^\alpha &= \alpha x^{\alpha-1} \,. \end{align*}$$
Provedli jsme limitní přechod, ve kterém jsme využili, že $h$ jde k nule, tedy cokoliv (konečného) krát $h$ jde také k nule. Odvodili jsme tedy velmi známý vztah, kterému se v angličtině říká Power rule (a v němčině Potenzregel). Mimo to si můžeme odnésti další poznatek, který je speciálním případem výše odvozeného pravidla. Zní tak, že pro jakékoliv číslo $\alpha$ a malé $x$ blížící se nule platí: $$(1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha \cdot x\,.$$
Smysl tohoto poznatku je podobný jako podstata limitního přechodu v derivaci. Na konkrétním příkladu: $$\sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2} x \Rightarrow \sqrt{1,1} \approx 1,0488 \approx 1,02 \,.$$
Ve druhé kapitole jsem ukázal, že když zvětšujeme čtverec o straně $a$, přidáme k němu vždycky $2a+1$ čtverečků, a pro velké $a$ můžeme jedničku zanedbat, na čemž lze vidět, že derivace obsahu čtverce $S=a^2$ (jeho změna) je rovna $2a$. To je v souladu s odstavci výše. Pro přehlednost ukáži ještě graficky, že to platí i ve třech dimensích. Ve vyšších dimensích by již nákresy byly poněkud komplikované.
Krychli lze vidět na obrázku výše. Když ji chceme zvětšit, přidáme k ní nejprve krychličky o objemu $1$ na tři strany jako na prvním obrázku níže. Následně přidáme zbylé krychličky, těch je $1+3\cdot a$. Objem $V=a^3$ má tedy přírůstek $\Delta V = 3a^2+3a+1$. Pro velmi velká $a$ je ro zhruba $\Delta V \approx 3a^2$, což je v souladu s odvozenou derivací $(x^3) '=3x^2$.
Konstantní funkce je trochu jiný šálek kávy, jedná se o $f(x)=C$, kde $C$ značí jakékoliv číslo. Pro jakékoliv $x$ tedy funkce $f(x)$ vrátí stejné číslo $C$. Nakreslíme-li si graf funkce, uvidíme rovnou čáru. Cítíme tedy, že funkce se nemění, její derivace by měla činit nulu. Toto lze podložit i výpočtem: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) = \lim_{h\to 0} \frac{ f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{ C-C }{h} = 0 \,.$$
Linearita: tímto slovem se učitelé ve školách příliš neohání, nicméně jedná se o stěžejní pojem ve fysice a podobných disciplínách. Co je lineární, to je přímočaré, jednoduché. Linearitu tedy vědci vyhledávají, neboť jim popisuje zjednodušený, přibližný popis reality. A lineární je i derivace. Říkáme, že funkce $f(x)$ je lineární, pokud pro každá čísla $x$ a $y$ platí: $$f(x+y)=f(x)+f(y)\,.$$
Dále musí pro každé číslo $x$ a konstantu $C$ platit: $$f(Cx)=Cf(x)\,.$$
Můžete si ověřit, že tato pravidla vskutku platí pro lineární funkci, ale pro kvadratickou ne. Zázračně tato pravidla splňuje samotná derivace, matematicky psáno, že pro každé dvě funkce $f(x)$ a $g(x)$ platí: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( f(x) + g(x) \right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} g(x)\,.$$
Dále pro každou funkci $f(x)$ a každou konstantu $C$ platí: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( C f(x) \right) =C\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) \,.$$
Jinými slovy: derivace součtu je součet derivací a konstantu můžeme vytknout před derivaci.
Funkce sinus a kosinus potkáme nejčastěji v trojúhelnících a vlnách. Úmyslně jejich představení nechám poovičaté, neboť jejich hlubší vysvětlení by bylo zdlouhavé a netýká se přímo tématu. Jejich derivace přesto provedeme pro zájemce. Využijeme dvě pravidla. Prvním jsou součtové vzorce: $$\begin{align*} \sin(x+y)&=\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x)\,,\\ \cos(x+y)&=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\,. \end{align*}$$
Na vzorcích výše vidíme, jak se sinus odchyluje od linearity. Druhá dvě pravidla jsou: $$\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{\sin(h)}{h} &=\lim_{h\to 0} \frac{h}{h} 1\,.\\ \lim_{h\to 0} \cos(h) &= 1\,. \end{align*}$$
Výsledky počítány na kalkulačce Casio fx-991EX, kterou považuji za relativně numericky přesnou v rámci těch na trhu.
Trochu vysvětlení k těmto limitám. První z nich značí, že u počátku funkce sinus vypadá jako lineární funkce $f(x)=x$. To si můžete ověřit pohledem na graf, nebo tím, že do kalkulačky zadáte pár hodnot blízkých nule. Např. (v radiánech) $\sin (0,01) \approx 0,009\,998 $ dle mé kalkulačky. Už i má kalkulačka ale píše $\sin (0,000\,01) = 0,000\,01$. Druhá z nich využívá faktu, že $\cos (0) = 1$, nemusíme ani provádět složitý limitní přechod.
Ozbrojeni čtyřmi rovnicemi můžeme počítat, začneme funkcí sinus: $$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{ f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{ \sin(x+h)-\sin(x)}{h} \\&= \lim_{h\to 0} \frac{ \sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h} \\&= \lim_{h\to 0} \frac{ \sin(x)\cos(h)-\sin(x)}{h} + \cos(x)\frac{\sin(h)}{h} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin(x)&= 0 + \cos(x) = \cos(x)\,. \end{align*}$$
Pro kosinus máme podobný příběh: $$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{ f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{ \cos(x+h)-\cos(x)}{h} \\&= \lim_{h\to 0} \frac{ \cos(x)\cos(h) - \sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h} \\&= \lim_{h\to 0} \frac{ \cos(x)\cos(h) -\cos(x)}{h} - \sin(x)\frac{\sin(h)}{h} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos(x) &= 0 - \sin(x) = -\sin(x)\,. \end{align*}$$
Správně se vskutku říká „exponenciální”, nikoliv „exponencionální”, stejně jako nedává smysl říkat „potencionální”. Někdy také říkáme této funkci „exponenciála”. Často o této funkci slyšíme v médiích, např. filmech, které se snaží imitovat vědeckou hantýrku. Např. ve profesorka Sarah Monroe ve filmu Megapiraňa říká, že se piraně rozmnožují exponencionálně a myslí tím, že se množí velmi rychle.
Exponenciální funkcí myslíme $f(x)=e^x$, kde $e\approx 2,718$ je tzv. eulerovo číslo, tedy konstanta. Tuto funkci nalezneme v mnoha přírodních fenoménech, např. v radioaktivním rozpadu či štěpu, nás budou pro derivaci zajímat některé její vlastnosti. První důležitá vlastnost je, že $e^{a+b}= e^ae^b$, což je normální vlastnost umocňování (např. $2^4\cdot 2^4=2^8$). Zkusme tedy rovnou derivovat: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) = \lim_{h\to 0} \frac{ f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{ e^{(x+h)}-e^x}{h} = \lim_{h\to 0} e^x\frac{ e^h-1 }{h} \,. $$
To jsme ale narazili na těžký výraz, musíme spočítat, jaká je limita $\frac{ e^h-1 }{h}$, když $h$ jde do nuly. Toho můžeme bohužel dosáhnout za jisté pomoci z vnějšku. Pomoc spočívá v tom, že řeknu, že číslo $e$ je zvolené následovně: $$e\equiv \lim_{n\to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \,.$$
S tímto vztahem za pasem můžeme pokračovat: $$\begin{align*} &\lim_{h\to 0, n\to \infty} \frac{e^h-1}{h} = \lim_{h\to 0, n\to \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{hn}-1}{h}\\ &= \lim_{h\to 0, n\to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}{hn} + h^2\cdot (\dots ) -1}{h} = \lim_{h\to 0, n\to \infty} 1 + h (\dots) = 1 \,. \end{align*}$$
V prvním úpravě jsme jen dosadili a využili vztahu $(a^b)^c=a^{bc}$, který lze vidět, pokud si na papír napíšete např. $(2^2)^3$. Ve druhé úpravě jsme použili obdobný postup jako při odvozování obecné mocninné funkce, pak již jen stačilo provést limitní přechod, který by neměl být ničím složitý. Celkově jsme zjistili (dosazením tohoto výsledku výše), že: $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^x=e^x\,.$$
To je ale hodně zvláštní — nalezli jsme funkci, jejíž derivace je ta samá funkce. Tento fakt se velmi hodí při řešení diferenciáních rovnic. Má nějakou podobnou vlastnost jiná funkce, kterou známe? Ano, funkce sinus a kosinus. Ty stačí derivovat čtyřikrát a dostaneme tu samou funkci. Z tohoto můžeme usoudit, že se vyskytuje nějaký vztah mezi exponenciálou a goniometrickými funkcemi. Vskutku, říká se mu Eulerův vzorec a podle Richarda Feynmana se jedná o nejhezčí matematickou rovnici. Důsledkem podobnosti je např. vztah, který mají někteří lidé vytištěný na hrníčcích a trikách: $$e^{i\pi} + 1 = 0\,.$$
Do detailů tohoto vztahu nebudu zabíhat, otočím list tím, že připomenu, že $e^x>0$. Jak jsme se dozvěděli v minulé kapitole, kladná derivace znamená stoupání. Ovšem i druhá derivace této funkce je také kladná. I třetí a tak až do nekonečna. To znamená, že tato funkce roste, její růst roste, růst jejího růstu roste, růst jejího růstu jejího růstu... To je celkem bláznivé, vskutku exponenciální rovnice popisuje bouřlivé a rychlé věci: nárůst počtu lidí v čase, nárůst peněz na účtu bohatých lidí, počet králíků v populaci, počet nakažených nebezpečnou nemocí atp.
Logaritmus naturalis, neboli prirozený logaritmus se značí $f(x)=\ln(x)$. Píšeme $y=\ln(x)$ a myslíme tím, že $y$ je takové číslo, na které musíme $e$ (číslo z úvah o exponenciele výše) umocnit, abychom obdrželi $x$. Rozmyslete si, že je to inversní funkce k $e^x$, tedy že $\ln (e^x)=x$. K odvození derivace budeme potřebovat následující dvě pravidla: $$\begin{align*} \ln(a)-\ln(b) &= \ln\left(\frac{a}{b}\right) \,,\\ b\cdot\ln(a) &= \ln (a^b) \,. \end{align*}$$
Jedná se o standardní pravidla platící pro logaritmus. O obou se můžete přesvědčit, když si představíte konkrétnější čísla a vybavíte si pravidla $a^b/a^c=a^{b-c}$ a $(a^b)^c=a^{bc}$. Nyní již derivujme: $$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) &= \lim_{h\to 0} \frac{ \ln(x+h)-\ln(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{ \ln \left(1 + \frac{h}{x} \right)}{h} \\&= \lim_{h\to 0} \frac{ \ln \left(1 + \frac{h}{x} \right)}{x\frac{h}{x}} = \lim_{h\to 0} \frac{1}{x}\frac{x}{h} \ln \left(1 + \frac{h}{x} \right) \\&= \lim_{h\to 0} \frac{1}{x} \ln \left(1 + \frac{h}{x} \right)^\frac{x}{h} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln(x) &=\frac{1}{x} \ln (e) = \frac{1}{x}\,. \end{align*}$$
Ve druhé úpravě jsme použili první pravidlo pro logaritmy, ve třetí druhé, následně jsme jen přepsali zlomek. Nyní nastává trochu problematický krok: úprava logaritmu. Můžeme si ale představit, že $h/x = 1/n$, a pak pro $n\to \infty$ máme definici čísla $e$. Nakonec jsme pomocí $\ln (e) =1$ odhalili derivaci logaritmu.
Možná vás teď přepadá úzkost, protože si říkáte, jak složité bude odvozovat všechny výsledky pro integrály. Úzkosti by vás však měla zbavit základní věta diferenciálního počtu, proto jsme ji odvozovali. Integraci totiž nemusíme tak pracně odvozovat, tak jako jsme činili např. v kapitole o Archimédovi, byť by to šlo. Stačí využít faktu, že derivace je inversní operace k integraci. Správný integrál pak můžeme jen uhodnout. Výsledky o integrálech tedy jen shrnu do tabulky, můžete si je pak ověřit.
Níže je kýžená derivační a integrační tabulka. Můžete si ji stáhnout ve formátu pdf či se podívat na zdrojová soubor .tex.
K odvození. Linearita integrálu platí mj. z důvodů geometrických. Plocha pod funkcí funkce $f(x)+g(x)$ je stejná, jako kdybychom na graf vynesli plochu pod $f(x)$ a nad ní plochu pod $g(x)$. Stejně plocha pod funkcí $k\cdot f(x)$ je jen $k$-krát roztažená plocha pod funkcí $f(x)$.
Nyní, abychom ověřili správnost integrace, musíme čtvrtý sloupec zderivovat a obdržíme druhý sloupec. Ve čtvrtém sloupci jsou totiž primitivní funkce k původní funkci, která se zde nachází. Proč jsou u některých funkcí ještě přičtena či odečtena nějaká čísla? Jedná se o to, že abychom čísla neměli, musela by studovaná funkce začínat v $y=0$. Ale např. u funkce $e^x$ platí $e^0=1$, tato funkce začíná v $y=1$. Odečtenou konstantou se tedy zajistí, že pokud integrujeme od $a=0$ do $b=0$, tak dostaneme nulovou plochu pod křivkou (která sama má nulovou délku, tak to dává smysl). Na kontrole se konstanta neprojeví, neboť její derivace je rovna nule.
O stránce
Články
Návody
Odkazy
O mně