Ve skutečnosti se od starých myslitelů moc nevzdálíme. První kalkulačku, o které budeme mluvit, totiž vytvořil Blaise Pascal (říkalo se jí tehdy pascalina).
V minulých kapitolách jsme se zabývali starým věděním od Pascala či Archiméda. Nyní skočíme do novějších dob a přiblížíme si, jak fungují zařízení, bez kterých se žádný inženýr neobejde: kalkulačky. Nemluvím teď o žádných analogových počítadlech či abacích, nýbrž o běžných elektrických kalkulačkách jako např. Casio fx CG50, i když i ty se počítadlům v něčem podobají. Skladují totiž v paměti tzv. bity (informace typu ano/ne či 0/1), které různě přesouvají právě jako počítadla, aby takto vyjádřili čísla. Nebudu tu zabíhat do detailů, ale lze si představit, že takovými přesuny bitů lze celkem efektivně vyjádřit sčítání či odečítání čísel. Tím můžeme lehce vyjádřit násobení. Od toho již není daleko k mocnění na celá čísla (na druhou, na třetí...), které taky kalkulačka hravě zvládá. Ale co když chceme spočítat např. odmocniny či logaritmy, jak může kalkulačka podat tak rychle odpověď?
Rychlá odpověď od kalkulačky např. na otázku, kolik činí $\sqrt{2}$,
člověka nemusí tolik překvapovat, protože kalkulačka vlastně nepodá
celou odpověď. Tázané číslo má nekonečný desetinný rozvoj, takže ho
kalkulačka ani nemůže zobrazit celé. Proto se o výpočet čísla ani nesnaží,
udělá se nějaký odhad. Tenhle jev byl znázorněn např. ve druhé episodě desáté série
televizního seriálu Simpsonovi, kde Homer nenápadně poukáže na fakt, že
podle kalkulačky $3\,987^{12}+4\,365^{12}=4\,472^{12}$, což odporuje slavné
velké Fermatově větě. Vskutku, stačí do kalkulačky zadat $(3\,987^{12}+4\,365^{12})^{1/12}$
a dostanete $4\,472,000\dots$ Zdání však klame, neboť kdyby kalkulačka ukazovala
více cifer, již by tam nebyly samé nuly.
Zaměřme se tedy na to, jakým způsobem kalkulačka může odhad činit.
Na odmocninu se ale podíváme až za chvíli, představme si nejprve, že
kalkulačka neumí mocnit a potřebuje odhadnout např., kolik je $3,001^2$. Jedná se
sice o jednodušší příklad, ale ukážeme si na něm důležitý princip, přes který se k odmocnině
propracujeme.
Hned od začátku můžeme udělat náš první odhad, že $3,001^2\approx 9$, neboť $3,001\approx 3$. Zdá se chytré se od toho odhadu odpíchnout a něco malého k němu přičíst, aby se zpřesnil. Můžeme tedy psát $3,001^2 \approx 9 + \delta$ (řecké písmeno delta). Jak ale odhadnout nějaké rozumné $\delta$? Vypomůžeme nákresem.
Na tomto nákresu je přiblížena funkce $x^2$ okolo bodu $[3;9]$. Na první pohled se zdá, že je to obyčejná lineární funkce, ale když se člověk podívá blíže (což na tomto obrázku nelze), uvidí, že je trochu zahlá jako kvadratická funkce bývá. Tato podobnost přináší následující myšlenku: což takhle odhadnout naše $\delta$ pomocí lineární funkce, když se jí tak podobá? Řečeno prostěji: což takhle z bodu $[3;9]$ nakreslit přímku, která by co nejlépe kopírovala funkci $x^2$ v okolí tohoto bodu? Pak se stačí podívat na přímce na bod $3+\delta$ a dostaneme náš odhad. Jak ale zjistit, která přímka nejlépe odhaduje funkci $x^2$ v bodě $[3;9]$?
Jeden aproximační způsob je zkonstruovat tečnu k funkci $x^2$ v bodě $x=3$. Proč zrovna tečna? Je to totiž právě tečna, která v okolí bodu hodně přesně kopíruje danou funkci. Jistě, asi nebude lehké sestrojit tečnu k nějaké divoké funkce jako $x^2$ (ze školy je člověk zvyklý tečnu konstruovat jen ke kružnici), ale snad na něco přijdeme. Zatím se podívejme na obrázek tečny v okolí funkce.
Obrázky vypadají jinak, protože jsem pro přehlednost na pravém zvětšil škálu osy $x$ dvakrát (a osa y se tedy změnila čtyřikrát).
Na levém obrázku jsem znázornil již poněkud větší okolí bodu $[3;9]$ a na něm funkce $f(x)$ a $f(3)+g(x)$. Je vidět, že se velmi podobají. Na pravém obrázku máme opět stejné funkce, ale od $x=0$ do cca $x=3,5$, zde se funkce již znatelně rozbíhají – aproximace přestává fungovat daleko od aproximovaného bodu.
Tečna se tedy zdá být docela dobrou aproximací, alespoň graficky. Bohužel zatím neznáme způsob, kterým tečnu nějak parametrisovat nějakým vzorečkem. Nevadí, pojďme se podívat na jinou metodu.
Na obrázcích jsem vždy pro orientaci kreslil dva sobě blízké body. Jakákoliv přímka je vždy definovaná dvěma body (stačí na dva body dát pravítko a přímku narýsovat), co kdybychom tedy použili blízké body ležící na křivce funkce $f(x)=x^2$ pro definici přímky? Když budou oba ležet na křivce, tak snad se i z nich vzniklá přímka bude přimykat křivce, ze které vzešla. Tvoření přímky z takových dvou bodů zdá proveditelný. Ještě malá vsuvka: označme číslo $3$, neboli hodnotu $x$, ze které začínáme, jako $x_0$ (tedy $x_0=3$).
Vzpomeňme na subtilní rozdíl mezi konkrétním číslem $x_0$ a proměnnou $x$.
Hledáme tak lineární funkci („f s čarou”) $f'(\Delta x) =k\cdot\Delta x$, která spojuje body $[3;9]$ a $[3,1;9,61]$. Znak $\Delta x$ ([velké řecké] delta x) tady znamená změnu $x$. Pohybujeme se totiž u bodu $x=3$ a z něj vyrážíme dál. Např. pro $\Delta x = 0$ je $x=3$ a $f(x_0)=9+f'(0)=9+k\cdot 0=9$, z počátečního bodu jsme tedy podle očekávání nevyšli. Ještě je potřeba zjistit číslo $k$.
Zde jsme narazili na drobný konflikt značení. Na jedné straně je $\Delta x$ proměnná, na druhé straně je to konkrétní délka vyznačená v obrázku.
Na nákresu výše je aproximační funkce ve správné poloze, jak propojuje dva žádané body. Koeficient $k$ tak lze vypočíst jako $\Delta y / \Delta x$, v našem případě $0,61/0,1=6,1$. V tomto výpočtu bylo $\Delta x$ rozdíl $x$-ových poloh bodů a $\Delta y$ rozdíl $y$-ových. Získali jsme tak funkci $f'_1(\Delta x) = k_1\cdot \Delta x=6,1\cdot \Delta x$. Označil jsem si ji indexem, protože to není zdaleka jediná funkce, kterou jsme mohli použít, můžeme přeci vybrat dva bližší body a tím dostaneme přesnější aproximaci.
Pojďme tedy zvolit dva bližší body než ty, které jsme volili doposud. První bod je klasicky $[3;9]$, ze kterého vyrážíme, druhý bod vybereme poněkud blíž. Pro pohodlnost nazvěme ten druhý bod $B$. Nyní chceme vypočítat koeficient $k$, použijeme stejný vzorec jako minule: $$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} \,.$$
Drobné objasnění významu $k$. Toto číslo říká, že když se posuneme o $\Delta x$ doprava, tak přímka stoupne o $\Delta y = k\cdot \Delta x$ nahoru. Dvakrát větší posun doprava, dvakrát větší stoupání atp. Právě toto stoupání je lineární a z něj pramení výpočet $k$.
Abychom mohli pokračovat, tak řekněme, že blízký bod $B$ se nachází na posici $x_0+\delta$ na křivce funkce $f(x)=x^2$. Pak dostaneme: $$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0+\delta)-f(x_0)}{x_0+\delta - x_0} = \frac{f(x_0+\delta)-f(x_0)}{\delta}\,.$$
Vskutku, čitatel tohoto zlomku popisuje, o kolik jsme se posunuli od $[x_0;f(x_0)]$ nahoru, a jmenovatel značí, o kolik jsme se posunuli doprava. Nyní využijeme toho, že $f(x)=x^2$: $$k=\frac{x_0^2+2\delta \cdot x_0 + \delta ^2- x_0^2}{\delta}= \frac{2\delta \cdot x_0 + \delta ^2}{\delta}=2x_0 + \delta = 6+\delta \,.$$
Matematicky bychom psali $k_\delta\cdot \Delta x \to k\cdot \Delta x$. Dále když říkám menší, myslím tím, že absolutní hodnota je menší.
Můžeme takto pro libovolné $\delta$ vyjádřit $k_\delta \cdot \Delta x = 6 + \delta$. Čím menší bude při tom delta, tím přesnější bude naše aproximační přímka. Jak ji udělat co nejpřesnější? Jednoduše zvolíme $\delta$ tak malé, že ho budeme moci zanedbat. Dostaneme tak $k\cdot \Delta x =6\cdot \Delta x$. Takovému odstranění $\delta$ říkáme tzv. limitní přechod, protože jsme de facto řekli, že je $\delta$ nekonečně malá, a proto jsme ji zanedbali, což je trochu odlišné od prosté deklarace $\delta = 0$. Limitní přechody objasním hlouběji v další kapitole.
Odhadněme nyní, kolik je $3,001^2$ pomocí poznatků nabitých v předchozích odstavcích. Psali jsme: $$3,001^2=f(x_0+\delta)\approx f(x_0)+k\cdot \Delta x = f(3) + k\cdot 0,001= 9+6\cdot 0,001=9,006\,.$$
Kalkulačka nám poví (tentokrát přesně), že správně by bylo $9,006001$. Nebyli jsme tedy tak daleko od pravdy.
Slovo derivace pochází z latinských slov de (od) + rivus (proud vody). Znamená to „odvodit“, tedy $f'$ je doslova odvozená funkce od $f$. Nepochází tedy od slova ryv (od poryv), jak by se mohlo zdát. Někdy také říkáme „derivovat“ jako „provádět derivaci funkce“. Tomu se v angličtině říká „to differentiate“, v němčině „ableiten”. Derivace je v angličtině „a derivative“ a v němčině „die Ableitung“.
Možná jste si povšimli, aproximační funkce $k\cdot \Delta x$ se podobá výsledku z kapitoly o kvadratických funkcích. Zároveň vás taky mohlo napadnout, že přibližování dvou bodů nekonečně blízko sebe, které probíhalo v limitní metodě, může dodat něco jako tečnu. Skutečně se to má tak, že aproximace limitní metody nám dodá tečnu. Pro lepší pochopení vše shrnu.
Chtěli jsme znát přibližnou hodnotu funkce $f(x)=x^2$ v bodě $3,001^2$. Vyšli jsme z toho, že tento bod je blízko bodu $3$, ve kterém hodnotu $f$ známe. Rozhodli jsme se, že funkci z bodu $x=3=x_0$ aproximujeme lineární funkcí (přímkou). Psali jsme jinými slovy $f(3+0,001)\approx f(3)+k\cdot \Delta x$. Zjistili jsme, že $k=6$ a z toho jsme učinili odhad.
K tomu navíc teď říkám dvě věci. Za prvé $k=6$, které jsme zjistili, dává nejpřesnější lineární odhad. Za druhé ono $k$ určuje tečnu k funkci, kterou jsme aproximovali.
Mé dva komentáře o tečně a přesnosti si nedokážeme, ale snad se jim dá věřit. Že jsme přišli na tečnu, si můžeme představit, když si několik skoro-tečen vytvořených ze sečen dvou blízkých bodů nakreslíme. Nelze je od tečny rozeznat. Ohledně přesnosti je to ošemetnější, nicméně která jiná přímka než tečna by měla aproximovat funkci?
Dokázali jsme tedy odhadnout, kolik je $3,001^2$. Co třeba $25,006^2$? Potřebujeme znovu počítat koeficient $k$ pro bod $25$ (neboť $25^2=625$). Tedy pro dva body $x=x_0=25$ a $x=x_0+\delta$: $$k_\delta=\frac{x_0^2+2\delta \cdot x_0 + \delta ^2- x_0^2}{\delta}= \frac{2\delta \cdot x_0 + \delta ^2}{\delta}=2x_0 + \delta = 50+\delta \,.$$
Dále provedeme limitní přechod $\delta \to 0$ a zjistíme, že $k=50$. Tedy $25,006^2\approx 625 + 50\cdot0,006=625,3$. Vskutku, kalkulačka píše $625,000\,36$.
Co kdybychom chtěli odhadnout $1,008^2$, $6,053^2$ nebo třeba $2,0009^2$? Vždycky bychom počítali koeficienty $k$ a vždy by byl výsledek $2\cdot x_0$. Vlastně jsme tak vytvořili funkci $k(x)$, protože pro každé $x=x_0$ lze spočítat $k$. Této funkci již nebudeme říkat $k$, ale derivace funkce $f$ a budeme ji značit $f'$. Toto značení odráží to, že jsme $f'$ dostali odvozením od funkce $f$.
Obecně platící pravidlo, které zde uvádím, bohužel neplatí pro úplně všechny funkce. Např. totiž existují funkce, které nemají derivaci (a logicky tedy nelze vzorec použít): třeba nespojitá funkce $\mathrm{sgn} (x)$ nemá derivaci v bodě nula. Nebo také funkce $|x|$ nemá v nule derivaci, je moc špičatá. Pro valnou většinu funkcí je ale vpořádku vzorec použít.
Podobně jako $f'$ je funkce a nabývá nekonečně hodnot pro různá $x$, tak můžeme tvořit různá $f'$ pro různá počáteční $f$. V tomto příkladu jsme počítali s $f(x)=x^2$, ale mohlo to být např. $f(x)=x^3$ či $f(x)=\sqrt{x}$. V každém případě by $f'(x)$ vypadala jinak. Obecně nicméně platí následující pravidlo: $$f(x+\Delta x) \doteq f(x) + \Delta x \cdot f'(x)$$
Jak je to s tou kalkulačkou, když jsme v této kapitole vypočítali neúplný odhad tak jednoduché funkce jako $x^2$? Odpověď je nasnadě: neaproximovali jsme dostatečně. Používali jsme totiž pouze lineární funkci. Abychom dosáhli lepších výsledků (a kalkulačky takový postup používají), museli bychom nalézt tečnou parabolu ($x^2$) nebo tečnou kubickou funkci $(x^3)$ a tak dále až do $x^n$ pro velké $n$. Takový aproximační polynom se nazývá Taylorův polynom stupně $n$, nicméně je to příliš pokročilý matematický koncept, takže do něj nebudeme v dalším dále zabíhat.
Místo toho zůstaneme u konceptu derivace a v příští kapitole si spočítáme slíbenou derivaci odmocniny. Povíme si několik dalších vlastností této funkce a snad uvidíme některé z jejích širokých uplatnění v říši matematiky a fysiky.
O stránce
Články
Návody
Odkazy
O mně