11. 03. 2022
V naší společnosti se stalo zcela běžné používat pojem nekonečna. Finitisté toto považují za chybu a chtěli by matematiku vrátit blíže lidské zkušenosti. Já se pohled finitismu snažím objasnit a navrhuji kompromisní řešení pro všechny, kteří s kritikou nekonečna souhlasí, ale nejsou si jisti, jaké je východisko: pokaždé když nekonečno používáte, třeba integrujete, pomodlete se.
Slovem vzdělaný myslím to, že daný člověk pracuje v akademickém prostředí, ale nemusí to vypovídat nic o jeho jiných kvalitách.
Finitismus je názor, že existují jen konečné věci, že koncept nekonečna nedává (z různých důvodů) smysl. A nezastávají ho jen nějací běžní lidé, ve skutečnosti jej zastávají často přední matematici, vzdělaní lidé (např. N. Wildberger). Pokud jste četli můj text o diferenciálním počtu, či jste obeznámeni s matematickou analýzou, asi vás to překvapuje, protože v matematice s nekonečny zachází na denním pořádku. Zajímavé na finitismu však je i to, že i finitisté mohou používat matematickou analýzu či jiné nástroje, které zdánlivě potřebují nekonečno.
V tomto článku se myšlenku finitismu pokusím vysvětlit a trochu ji obhájit. Ukázat, že je to styl přemýšlení rovnocenný se svým protějškem (uznáním existence nekonečna). Proč? Myslím si, že existenci nekonečna dnešní běžný člověk prostě předpokládá bez toho, aby se ji snažil pochopit, protože věří, že v matematice nějak funguje. Přesto tento názor, který drží kvůli autoritě vědců, má velký dopad na jeho jiné myšlenky: např. ohledně existence Boha atp. Zastávat ale určitý názor, který přesahuje matematiku, a opírat se při tom o matematiky, to je špatný postup: zvláště když se ani matematici na existenci nekonečna neshodnou.
V této sekci se pokusím objasnit, co to znamená nekonečno z různých matematických pohledů, abychom věděli, o čem se bavíme. Ve skutečnosti si myslím, že čistě matematicky mluvit o nekonečných veličinách či hodnotách, je již špatná terminologie. Mnohem lepší je říkat, že x „roste nade všechny meze,” což vysvětlím na příkladech. Klidně tuto sekci přeskočte, pokud jste již slyšeli o pojmech jako spočetné a nespočetné nekonečno.
Představme si přirozená čísla, tedy jedna, dvě, tři, čtyři... Ať již řekneme jakékoliv číslo $n$, tak někdo jiný může říct nějaké větší číslo (třeba $n+1$), tak existuje nějaké číslo, které je vyšší. Po nekonečnu chceme, aby bylo větší než jakékoliv jiné číslo, což je trochu paradoxní: takové číslo neexistuje, protože jak jsem výše psal, pro každé číslo existuje alespoň jedno větší číslo. Takže nekonečno nemůže být přirozené číslo.
Je to ale „počet přirozených čísel,” který je nekonečný: nebo matematici přesněji říkají velikost množiny přirozených čísel, která je nekonečná. Ještě já navrhuji neříkat, že je nekonečná, nýbrž že roste nade všechny meze, neboť to popisuje realitu výstižněji. Protože když se ptáme po „počtu přirozených” čísel, tak je přesně takový: ať kdokoliv řekne nějakou mez, např. „počet přirozených čísel je menší než 100”, tak skutečná mez (pokud existuje) je vyšší. Počet čísel je nade všechny meze.
Existuje ale ještě „větší” „nekonečno”, nebo bychom měli říci hrozivější a to by bylo matematicky přesnější. Předchozímu počtu se říká spočetný počet, neboť si můžeme představit naivního člověka, který chce všechna přirozená čísla spočítat. Začne „jedna, dvě, tři...” a takto pokračuje. Když k němu přijdeme za tisíc let, už bude třeba u čísla deset na desátou, ale stejne se mu můžeme vysmát, protože se nikdy nedopočítá. Přesto ale nějak cítíme, že se náš hlupáček dostává blíže a blíže ke skutečnému počtu.
Na druhou stranu existují reálná čísla: to jsou zhruba řečeno všechna čísla, která vám ručička může ukázat, když používáte analogovou váhu: 11,1; 124.234 atd. Ručička může skočit i na pí (když je tedy velmi velmi tenká), anebo když váhu nadzvedneme, tak se ukážou záporná čísla. Kdyby náš hlupáček počítal reálná čísla od jedničky, říkal by takto: „1; 1,1; 1,11; 1,111; 1,1111...” To už by byl opravdový chudák, protože i kdybychom se ho přišli zeptat za milion let, kam se dostal, tak by nebyl ani u čísla 2. S takovou by to sotva stihl, proto se tomu počtu říká nespočetný. Detailněji je tento argument rozpracován zde, opět v mém textu Oživlá geometrie.
Ještě méně známá koncepce nekonečna je u komplexních číslech. Komplexní čísla jsou taková, která mají dvě složky, a proto se jim říká komplexní (složená). Např. píšeme (2;-1,23) jako komplexní číslo o složkách 2 a -1,23. Zatímco reálná čísla se dala znázornit na číselnou osu (přímku), komplexní čísla se znázorňují jako body na rovině, které se říká Gaussova rovina.
Pokud tedy každý bod roviny vezmeme jako jedno komplexní číslo o dvou souřadnicích, tak můžeme udělat ještě jednu pomůcku (vám se možná bude zdát trochu neohrabaná, ale ve fyzice je to z nějakého důvodu dost šikovné). Představte si povrch koule (sféru), který má střed ve středu roviny. Potom se na každý bod roviny dá ukázat ze sféry: na severním pólu koule začneme přímku, která bude procházet libovolným dalším jedním bodem. Ta přímka pak bude ukazovat na jeden bod roviny, a takto se dá pokrýt celá rovina. Vše zobrazuje obrázek níže ze serveru math online.
V tomto pojetí je nekonečno jen jedno a je to samotný severní pól sféry. Zde nemám problém severnímu pólu říkat nekonečno, ale už je otázka, co tento bod znamená, a proč by to mělo být nekonečno. Není navíc vůbec jasné, na který bod na sféře ukazuje: na všechny „nekonečně daleko”? Zde bych argumentoval, že je to pouze matematická definice a moc s lidským, intuitivním ponětím nekonečna nemá co dočinění.
Problém s nekonečnem v matematice je, když se nějakého matematika zeptáte, jestli teda to nekonečno můžete vidět. Jak jsme viděli v případě přirozených čísel, nekonečno rozhodně není číslo, maximálně můžeme jako nekonečno označit velikost množiny přirozených čísel, či mu přiřadit severní pól na Riemannově sféře, nicméně to je vždycky strašně mimo kontext původní věci a nekonečno se pak stejně nepoužívá k tomu, k čemu očekáváme.
Například fyzici často říkají, že nějaká veličina je nekonečná, dejme tomu energie nějakého jevu. Dobře, ale fyzika si zakládá na měření, jak by tedy šlo změřit, že je něco nekonečné? Muselo by se ukázat, že je to větší než všechny ostatní věci. To bychom ale museli vyzkoušet hodně měřičů energie (vždy s nějakou maximální hodnotou, kterou by nám daný měřič u nekonečné energie ukázal), a na to bychom potřebovali nekonečný rozpočet, což každý fyzik ví, že není realizovatelné.
Přesto fyzici pořád říkají, že něco je nekonečné, a je to vskutku užitečná pomůcka. Například, pokud se srazí Země a ping-pongový míček, tak rozhodně nemusíme započítávat to, jak se odrazí Země, stačí ten míček. V takovém případě fyzik řekne „hmotnost Země je nekonečná,” ale ve skutečnosti tim myslí, že hmotnost Země je větší než všechny pro tento experiment praktické meze. Je to analogie matematiky: tam žádáme úplně všechny meze, ve fyzice aproximujeme, proto nám stačí všechny vhodné meze.
Nebo častý příklad je vesmír: svým dětem říkáme, že vesmír je nekonečný. Ale to není pravda, jen je mnohokrát větší než všechny praktické meze jako velikost našeho domu, naší planety, naší sluneční soustavy, naší galaxie... Samozřejmě, kdybychom byli astrologové, mohli bychom se zabývat celým viditelným vesmírem: pak by již vesmír nebyl „nekonečný,” protože by nebyl větší než všechny naše meze: astrologové totiž pracují s velkými mezemi. Jistě, někdo by mohl tvrdit, že nepozorovatelný vesmír je nekonečný: ale jakou váhu toto tvrzení má, když mluví o něčem, co ex definitio nelze vidět?
Tedy když většina lidí říká, že je něco nekonečné, myslí tím, že to roste nade všechny meze. Finitisté se zamýšlejí, co tedy znamenají ty všechny meze a říkají následující věc: vzhledem k tomu, že nikdy nemůžeme všechny meze otestovat, nemá smysl mluvit o tom, že něco roste nad úplně všechny meze. Zde je třeba rozeznávat jistou nuanci: v matematice můžeme otestovat cokoliv jednoduše, protože jsou to všechno myšlenkové experimenty. Finitisté si ale myslí, že vzhledem k tomu, že takto nefunguje naše lidská zkušenost, tak pro lidi nemá smysl definovat matematiku, která takto funguje. Měli bychom matematiku formulovat tak, aby se v ní nevyskytovalo „kontrolování úplně všech mezí”.
Já si myslím, že to je logické, a pokusím se nastínit, jak by toto mohlo vypadat. Bohužel jsem si nestudoval žádné finitistické učebnice nebo něco podobného, takže nejsem řečený expert na konstrukci takových systémů, ale mohu poskytnout několik myšlenek na to, jak by se to dalo udělat (přiznávám, že mohou mít logické chyby, a možná nedávají smysl).
Přiznávám, že toto myšlení se může zdát hodně omezující. Nicméně lidské myšlení je omezené naší konečnou mozkovou kapacitou, a možná to, že naše matematika předpokládá neomezenost, neodpovídá našemu myšlení: matematika tedy nedokáže vystihnout naše zkušenosti. Dále, myšlenka toho, že existuje třeba číslo pí, jenom ho nikdy v přírodě nemůžeme změřit, můžeme pozorovat jen jakési jeho stíny, mi přijde nebezpečně podobná Platonově jeskyni. Není už čas po 2 000 letech své myšlení odpoutat od tohoto jednoho arbitrátního člověka?
Navíc, antická geometrie, jak jsem ji poznal z knihy Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci od Petra Vopěnky, o geometrii přemýšlela pohledem, který je dle mého názoru mnohem lépe spjat s lidským pozorováním. Mám dojem, že naše dnešní koncepce je pouze perverze antických myšlenek. Např. Vopěnka popisuje mnoho centrálních pojmů a jsou pojmenovány hlavně smyslově, např. pojem názor a obzor, o kterém zde uvádím citaci:
Obzor je hranicí našeho pohledu. V uvedeném příkladu pohledu z letadla obzor neohraničuje náš pohled pouze do dílky, ale i ve všech možných směrech. [...] Při nahlédnutí do světa se tedy uplatnila naše schopnost druhého porozumění světu, a to v porozumění takto ohraničenému rozvrhu poukazů na obzorem ohraničené části světa. Názor je porozumění takto ohraničenému rozvrhu poukazů [...]
Omezenost našeho pohledu je zde tedy centrální. Když už potřebujeme nějaké velmi složité konstrukce, musíme si dle toho, jak antiku převypravuje Vopěnka, přivolat Dia na pomoc: neboť si lze představit, že námi nezvládnutelné věci on zvládne. Ale i on má nějaké své hranice možností, je to přeci jen Zeus (o tomto konceptu píše v kapitole s názvem Nadčlověk).
Ještě jsem se ve Vopěnkově mistrovském dílu neprokousal k osvícení, ale problém nekonečna je něco, co mi přijde jako jedna stěžejní věc. Když tedy dnes píšeme „pro všechna x z reálných čísel” tak zasahujeme jedním mocným tvrzením nepředstavitelné prostory a ani nám nic takového nepřijde divné. Jako prozatimní řešení navrhuji: pokaždé, když nekonečno podvědomě využíváme, když píšeme „pro všechna”, když integrujeme, pomodleme se. Je to totiž jednak velký akt víry a za druhé se to dle mého názoru opírá o myšlenku možnosti existence všemohoucího (Boha). Třeba nás to trochu odradí používat nekonečno nazdařbůh. Dále, pokud si chcete z tohoto článku něco odnést, prosím neříkejte o věcech, že jsou nekonečné. Lepší formulace je, že rostou nade všechny meze.
Líbil se vám tento článek? Možná se vám bude líbit moje matematická série
Oživlá geometrie,
obzvláště článek o Archimedově metodě
sčítání nekonečné sumy za účelem výpočtu plochy pod parabolou.
Jestli si nechcete ujít jiné mé články, pak doporučuji se přihlásit
k mému RSS feedu.
O stránce
Články
Návody
Odkazy
O mně