Diferenciální počet

O návodu

Představte si, že k vám přijde malé dítě povídajíc, že mu ve škole moc nejde vlastivěda, že jí za žádnou cenu nemůže rozumět, a že nejspíš rezignuje. Na takové vyznání by snad každý odpověděl, že to přece tak není, že se vlastivědu jistojistě naučí, vytrvá-li ve své píli, ba že tato snaha nakonec přinese své ovoce, a že ho to začne bavit. Žijeme přeci ve vzdělané společnosti, kde škola má být hrou a každý má na vzdělání šanci. Co kdyby však ono plačtivé dítě nepřišlo se stížností na vlastivědu, nýbrž na matematiku? V takovéto situaci se již stalo běžným uzusem odpovědět ve stylu „No jo, mně také matematika nešla, z toho si nic nedělej.“ nebo „Neměj strach, někdo na matiku prostě nemá buňky, nějak prolezeš.“
Stalo se prostě již běžnou zvyklostí, že matematika je předmět nenáviděníhodný, který je někomu souzen a druhému zas ne. Já však nevěřím v takovou osudovost matematiky, myslím si, že – podobně jako „Na krásném modrém Dunaji“ od Johanna Strausse nebo „Hvězdná noc“ – v sobě matematika skrývá jakousi univerzální krásu. Odhalení této krásy však vyžaduje správné rozpoložení mysli a vhodný vhled, proto mi přijde škoda, že v našich školách se učitelé soustředí spíše na praktickou, procedurální část matematiky, která o tom pravém nevypovídá.
Přijde mi tedy škoda, že mrazivá elegence matematiky, která ve své univerzálnosti transcenduje naše universum a přesto jí naše chápání poutá k lidskému vývoji, spojuje s historií matematických objevitelů, zůstává neodhalena. Proto jsem se rozhodl psát o své nejoblíbenější části matematiky – diferenciálním počtu či matematické analýze či kalkulu. Budu postupovat vesměs chronologicky tak, že představím nejdřív prapočátky, kdy matematika byla spíše spojena s intuicí, a budu se pomalu dostávat ke složitějším tématům, kde plánuji matematické poznatky využít na fyzikální popis světa.

Technická poznámka: pokud v návodu píšu něco jako „je lehké si domyslet“, nebo „je zřejmé, že“, tak řím myslím, že se jedná o myšlenkový proces, který by člověk měl udělat. Je tedy vhodné se nad tím zamyslet a nemusí to vlastně být triviální...

Pascalův trojúhelník a sumy prvních mocnin přirozených čísel

Pro pochopení abstraktních konceptů matematiky je někdy důležité abstraktnost propojit s důvěrně známými situacemi z každodenního života. Konkrétně často nejvíce pomůže si matematické myšlenky visualizovat, tedy je spojit s obrazovým vjemem. Jako příklad této myšlenky si nyní představíme Pascalův trojúhelník, který navíc bude sloužit k pozdějšímu výkladu. Později i díky němu odvodíme např. součet první stovky přirozených čísel nebo první desítky druhých mocnin přirozených čísel.

Archimédés a vykrývací metoda pro výpočet plochy pod parabolou

Diferenciální počet, k jehož vybudování v této sérii směřuji, má své počátky ve starověku. Jako jeden z prvních lidí, kteří svými myšlenkami zavadili o některé koncepty této disciplíny, byl Archimédés. Tento řecký ze Sicílie filosof, jehož bychom dnes považovali spíše za matematika a fyzika, se zabýval mnoha problémy. Například vymyslel vlastní číselnou soustavu pro počítání velkých čísel, konstruoval bitevní stroje, kterými potápěl nepřátelské lodě, formuloval zákon o vztlakové síle, ale nás bude zajímat spíše, že vypočítal obsah plochy pod segmentem paraboly.
Výpočet plochy pod nějakou křivkou je jedna ze základních úloh diferenciálního počtu. Později se tomuto tématu budeme věnovat obecněji a do větší hloubky, ukážeme si, jaké využití můžeme pro tuto úlohu najít. Zatím se však na tuto úlohu dívejme podobně jako Archimédés – čistě jako na zajímavý matematický problém, který má jiný charakter než výpočet plochy obyčejných geometrických útvarů jako $n$-úhelníky.